Étudier une fonction trigonométrique

6.1 La méthode

Pour étudier une fonction définie à partir de sinus et de cosinus :

1. Préciser l'intervalle d'étude, en utilisant la parité et la périodicité si besoin.
2. Calculer la dérivée, avec les règles de calcul et les composées.
3. Factoriser, pour isoler un sinus ou un cosinus. La relation $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ fait souvent apparaître un polynôme en $\cos x$.
4. Résoudre l'inéquation qui reste, sur le cercle.
5. Dresser le tableau de variations, et conclure en revenant à la question posée.

6.2 Un problème de géométrie : la gouttière

Une bande de zinc large de $30$ cm est pliée en trois parties égales pour faire une gouttière. Le fond mesure $10$ cm, et chaque bord aussi, relevé d'un angle $\theta \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ par rapport à l'horizontale. Quel angle donne la plus grande section ?

Modéliser. La section est un trapèze. Sa hauteur vaut $10\sin\theta$. Sa petite base vaut $10$, et sa grande base $10 + 2 \times 10\cos\theta = 10 + 20\cos\theta$. Son aire, en cm², est donc $A(\theta) = \frac{10 + (10 + 20\cos\theta)}{2} \times 10\sin\theta = 100\,(1 + \cos\theta)\sin\theta.$

Dériver. On étudie $f(\theta) = (1 + \cos\theta)\sin\theta$. Avec la dérivée d'un produit, $f'(\theta) = -\sin\theta \times \sin\theta + (1 + \cos\theta)\cos\theta = -\sin^2\theta + \cos\theta + \cos^2\theta.$ On remplace $\sin^2\theta$ par $1 - \cos^2\theta$ : $f'(\theta) = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1).$

Le signe. Sur l'intervalle, $\cos\theta + 1 > 0$. Le signe de $f'(\theta)$ est donc celui de $2\cos\theta - 1$, et sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos\theta \geq \dfrac12 \iff \theta \leq \dfrac{\pi}{3}$.

Conclure. La section est maximale pour $\theta = \dfrac{\pi}{3}$, soit $60$ degrés. Elle vaut $100 \times \dfrac{3\sqrt3}{4} \approx 129{,}9$ cm². Avec des bords verticaux, elle ne vaudrait que $100$ cm² : on gagne près de $30\,\%$.

6.3 Une étude sans géométrie

Exemple 37. Étudions $f(x) = x + 2\cos x$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On a $f'(x) = 1 - 2\sin x$, et $f'(x) \geq 0 \iff \sin x \leq \dfrac12 \iff x \in \left[-\pi\,;\dfrac{\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{6}\,;\pi\right]$.

La fonction $f$ a un maximum local en $\dfrac{\pi}{6}$, environ $2{,}256$, et un minimum local en $\dfrac{5\pi}{6}$, environ $0{,}886$. Sur l'intervalle, son minimum est $f(-\pi) = -\pi - 2 \approx -5{,}142$, et $f(\pi) = \pi - 2 \approx 1{,}142$.

6.4 Une étude avec parité et périodicité

Exemple 38. Soit $f(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ sur $\mathbb{R}$. Elle est périodique de période $2\pi$ et impaire : on l'étudie sur $[0\,;\pi]$. D'après l'exemple 10, $f'(x) = \dfrac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}$, du signe de $2\cos x + 1$. Sur $[0\,;\pi]$, $f'(x) \geq 0 \iff x \leq \dfrac{2\pi}{3}$.

Le maximum de $f$ vaut $\dfrac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}577$, atteint en $\dfrac{2\pi}{3}$.

6.5 Un second problème : le jet d'eau

Exemple 39. Un jet d'eau sort à l'angle $\theta \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ avec le sol. Pour une vitesse donnée, sa portée, en mètres, est modélisée par $d(\theta) = 10\sin(2\theta)$. On a $d'(\theta) = 20\cos(2\theta)$. Pour $\theta \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $2\theta \in [0\,;\pi]$, donc $d'(\theta) \geq 0 \iff 2\theta \leq \dfrac{\pi}{2} \iff \theta \leq \dfrac{\pi}{4}$. La portée est maximale pour $\theta = \dfrac{\pi}{4}$, soit $45$ degrés, et vaut $10$ mètres. Les angles de $30$ et $60$ degrés donnent la même portée, $5\sqrt3 \approx 8{,}66$ mètres.