Résoudre $\cos x \leq a$ et l'analogue avec sinus

5.1 Un exemple, sur le cercle et sur la courbe

Résolvons $\cos x \leq \dfrac12$ sur $[-\pi\,;\pi]$.

Sur le cercle. On trace la droite verticale d'abscisse $\dfrac12$. Les points d'abscisse inférieure ou égale à $\dfrac12$ sont à gauche de cette droite. Ils forment un arc qui passe par le point de $\pi$. Sur l'intervalle, cet arc est coupé en deux morceaux, car $-\pi$ et $\pi$ sont les deux bornes : $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}\,;\pi\right].$

Sur la courbe. La courbe de cosinus est sous la droite d'équation $y = \dfrac12$ sur ces deux intervalles.

Par les variations. Sur $[0\,;\pi]$, $\cos$ est strictement décroissante, donc $\cos x \leq \cos\dfrac{\pi}{3} \iff x \geq \dfrac{\pi}{3}$. La parité donne l'autre morceau.

5.2 Le cas général

Propriété. Soit $-1 < a < 1$ et $\alpha \in\, ]0\,;\pi[$ tel que $\cos\alpha = a$. Sur $[-\pi\,;\pi]$ :

• $\cos x \leq a \iff x \in [-\pi\,;-\alpha] \cup [\alpha\,;\pi]$ ;
• $\cos x \geq a \iff x \in [-\alpha\,;\alpha]$.

Avec une inégalité stricte, on ouvre les crochets en $\alpha$ et en $-\alpha$.

Cas extrêmes.

• Si $a \geq 1$, $\cos x \leq a$ est vraie pour tout $x$ : $\mathcal{S} = [-\pi\,;\pi]$.
• Si $a < -1$, $\cos x \leq a$ n'a aucune solution : $\mathcal{S} = \varnothing$.
• Si $a = -1$, $\cos x \leq -1$ a pour solutions $-\pi$ et $\pi$.

Exemple 26. $\cos x < \dfrac{\sqrt2}{2}$ : $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$, et $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\dfrac{\pi}{4}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{4}\,;\pi\right]$.

Exemple 27. $\cos x \leq -\dfrac{\sqrt3}{2}$ : $\alpha = \dfrac{5\pi}{6}$, et $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\dfrac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\dfrac{5\pi}{6}\,;\pi\right]$.

Exemple 28. $\cos x \geq -\dfrac12$ : $\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$, et $\mathcal{S} = \left[-\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right]$. De même, $\cos x > 0$ a pour ensemble de solutions $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$.

Exemple 29. $\cos x \leq 0{,}3$ : $\alpha \approx 1{,}266$, et $\mathcal{S} \approx [-\pi\,;-1{,}266] \cup [1{,}266\,;\pi]$.

Attention à l'intervalle. La forme de l'ensemble dépend de l'intervalle choisi. Sur $[0\,;2\pi]$, $\cos x \leq \dfrac12$ a pour ensemble de solutions un seul intervalle : $\left[\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right]$.

5.3 Avec le sinus

On compare à la droite horizontale d'ordonnée $a$, et on lit l'arc sur le cercle.

Exemple 30. $\sin x \geq \dfrac12$ : on garde les points au-dessus de la droite. L'arc va de $\dfrac{\pi}{6}$ à $\dfrac{5\pi}{6}$, d'un seul tenant : $\mathcal{S} = \left[\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Exemple 31. $\sin x < \dfrac12$ : on prend tout le reste, $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;\dfrac{\pi}{6}\right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}{6}\,;\pi\right]$.

Exemple 32. $\sin x < -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : on garde les points sous la droite, $\mathcal{S} = \left]-\dfrac{3\pi}{4}\,;-\dfrac{\pi}{4}\right[$.

Exemple 33. $\sin x \geq -\dfrac12$ : on enlève l'arc du bas, $\mathcal{S} = \left[-\pi\,;-\dfrac{5\pi}{6}\right] \cup \left[-\dfrac{\pi}{6}\,;\pi\right]$.

5.4 Étudier un signe

Ces inéquations donnent le signe d'une expression, donc celui d'une dérivée.

Exemple 34. Signe de $2\cos x + 1$ sur $[-\pi\,;\pi]$. On a $2\cos x + 1 \geq 0 \iff \cos x \geq -\dfrac12 \iff x \in \left[-\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right]$.

5.5 En situation

Exemple 35 : un panneau solaire. Un panneau reçoit une puissance, en watts, $P(\theta) = 400\cos\theta$, où $\theta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ est l'angle entre les rayons du soleil et la perpendiculaire au panneau. Pour quels angles reçoit-il au moins $200$ watts ? $P(\theta) \geq 200 \iff \cos\theta \geq \frac12 \iff -\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}.$ L'écart ne doit pas dépasser $60$ degrés. Pour recevoir au moins $300$ watts, il faut $\cos\theta \geq 0{,}75$, soit un écart d'au plus $0{,}723$ radian environ, ou $41$ degrés.

Exemple 36 : la marée. Dans un port, la hauteur d'eau, en mètres, est modélisée par $h(t) = 6 + 4\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$, où $t \in [-6\,;6]$ est le temps en heures, compté depuis la pleine mer. La hauteur vaut $10$ mètres à la pleine mer et $2$ mètres à la basse mer. Un bateau a besoin d'au moins $8$ mètres d'eau pour entrer : $h(t) \geq 8 \iff \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \geq \frac12 \iff -\frac{\pi}{3} \leq \frac{\pi t}{6} \leq \frac{\pi}{3} \iff -2 \leq t \leq 2.$ Le port est accessible de $2$ heures avant à $2$ heures après la pleine mer. Le modèle se répète toutes les $12$ heures.