Sinus et cosinus

1. Question 1 sur 20$\cos\dfrac{3\pi}{4} =$

   A $\dfrac{\sqrt2}{2}$ B $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ C $-\dfrac12$ D $\dfrac{\sqrt3}{2}$

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   Réponse B. $\cos\dfrac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{4}$ .

2. Question 2 sur 20$\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) =$

   A $\dfrac12$ B $-\dfrac12$ C $\dfrac{\sqrt3}{2}$ D $-\dfrac{\sqrt3}{2}$

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   Réponse B. La fonction sinus est impaire : $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{6}$ .

3. Question 3 sur 20Pour tout réel $x$ , $\cos(\pi - x) =$

   A $\cos x$ B $-\cos x$ C $\sin x$ D $-\sin x$

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   Réponse B. Le point de $\pi - x$ est le symétrique de celui de $x$ par rapport à l'axe des ordonnées : les abscisses sont opposées.

4. Question 4 sur 20La courbe de la fonction sinus est symétrique

   A par rapport à l'axe des ordonnées B par rapport à l'axe des abscisses C par rapport à l'origine D elle n'a aucune symétrie

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   Réponse C. La fonction sinus est impaire. C'est la courbe de cosinus qui est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

5. Question 5 sur 20La dérivée de $x \mapsto \sin x + \cos x$ est

   A $x \mapsto \cos x + \sin x$ B $x \mapsto \cos x - \sin x$ C $x \mapsto -\cos x + \sin x$ D $x \mapsto -\cos x - \sin x$

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   Réponse B. $\sin' = \cos$ et $\cos' = -\sin$ .

6. Question 6 sur 20La dérivée de $x \mapsto \cos(4x)$ est

   A $x \mapsto -\sin(4x)$ B $x \mapsto 4\sin(4x)$ C $x \mapsto -4\sin(4x)$ D $x \mapsto 4\cos(4x)$

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   Réponse C. $\big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b)$ , avec $a = 4$ .

7. Question 7 sur 20La dérivée de $x \mapsto x\sin x$ est

   A $x \mapsto \cos x$ B $x \mapsto x\cos x$ C $x \mapsto \sin x + x\cos x$ D $x \mapsto \sin x - x\cos x$

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   Réponse C. Dérivée d'un produit : $1 \times \sin x + x \times \cos x$ .

8. Question 8 sur 20La tangente à la courbe de sinus au point d'abscisse $0$ a pour équation

   A $y = 0$ B $y = 1$ C $y = x$ D $y = x + 1$

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   Réponse C. $\sin 0 = 0$ et $\sin'(0) = \cos 0 = 1$ .

9. Question 9 sur 20Sur $[0\,;\pi]$ , la fonction cosinus est

   A strictement croissante B strictement décroissante C constante D croissante puis décroissante

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   Réponse B. $\cos'(x) = -\sin x \leq 0$ sur $[0\,;\pi]$ , et elle ne s'annule qu'aux bornes.

10. Question 10 sur 20Sur lequel de ces intervalles la fonction sinus est-elle décroissante ?

    A $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ B $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ C $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right]$ D $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$

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    Réponse B. Sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ , $\sin'(x) = \cos x \leq 0$ .

11. Question 11 sur 20La fonction $x \mapsto \cos(3x)$ a pour période

    A $3\pi$ B $\dfrac{\pi}{3}$ C $\dfrac{2\pi}{3}$ D $6\pi$

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    Réponse C. La période de $x \mapsto \cos(\omega x)$ est $\dfrac{2\pi}{\omega}$ .

12. Question 12 sur 20Sur $[-\pi\,;\pi]$ , l'équation $\cos x = \dfrac12$ a pour ensemble de solutions

    A $\left\{\dfrac{\pi}{3}\right\}$ B $\left\{-\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{\pi}{3}\right\}$ C $\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}$ D $\left\{-\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{\pi}{6}\right\}$

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    Réponse B. Les solutions de $\cos x = a$ sont $\alpha$ et $-\alpha$ , ici avec $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ .

13. Question 13 sur 20Sur $[-\pi\,;\pi]$ , l'équation $\sin x = \dfrac12$ a pour ensemble de solutions

    A $\left\{-\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{\pi}{6}\right\}$ B $\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}$ C $\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}$ D $\left\{\dfrac{\pi}{6}\right\}$

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    Réponse C. $\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}$ : le second point est le symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

14. Question 14 sur 20Sur $[-\pi\,;\pi]$ , combien l'équation $\sin x = 0$ a-t-elle de solutions ?

    A $1$ B $2$ C $3$ D $4$

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    Réponse C. Les solutions sont $-\pi$ , $0$ et $\pi$ .

15. Question 15 sur 20Sur $[-\pi\,;\pi]$ , l'inéquation $\cos x \leq 0$ a pour ensemble de solutions

    A $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ B $\left[-\pi\,;-\dfrac{\pi}{2}\right] \cup \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ C $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ D $[-\pi\,;0]$

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    Réponse B. Les points d'abscisse négative ou nulle sont à gauche de l'axe des ordonnées. L'intervalle coupe cet arc en deux morceaux.

16. Question 16 sur 20Sur $[-\pi\,;\pi]$ , l'inéquation $\sin x > \dfrac12$ a pour ensemble de solutions

    A $\left[\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right]$ B $\left]\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right[$ C $\left]-\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{\pi}{6}\right[$ D $\left]\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right[$

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    Réponse B. On garde l'arc au-dessus de la droite d'ordonnée $\dfrac12$ . L'inégalité est stricte : les bornes sont exclues.

17. Question 17 sur 20Sur $[-\pi\,;\pi]$ , l'inéquation $\cos x \geq -\dfrac{\sqrt2}{2}$ a pour ensemble de solutions

    A $\left[-\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{\pi}{4}\right]$ B $\left[-\dfrac{3\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right]$ C $\left[-\pi\,;-\dfrac{3\pi}{4}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{4}\,;\pi\right]$ D $\left[\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{3\pi}{4}\right]$

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    Réponse B. Ici, $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$ , et $\cos x \geq a \iff x \in [-\alpha\,;\alpha]$ .

18. Question 18 sur 20Soit $f(x) = x + 2\cos x$ sur $[-\pi\,;\pi]$ . La dérivée $f'$ s'annule en

    A $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ B $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ C $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ D $\dfrac{\pi}{2}$ seulement

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    Réponse A. $f'(x) = 1 - 2\sin x$ , et $\sin x = \dfrac12$ a pour solutions $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ .

19. Question 19 sur 20Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , la fonction $\theta \mapsto (1 + \cos\theta)\sin\theta$ atteint son maximum en

    A $\dfrac{\pi}{6}$ B $\dfrac{\pi}{4}$ C $\dfrac{\pi}{3}$ D $\dfrac{\pi}{2}$

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    Réponse C. Sa dérivée vaut $(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$ . Elle s'annule en changeant de signe quand $\cos\theta = \dfrac12$ .

20. Question 20 sur 20Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , le maximum de $x \mapsto \sin x\cos x$ vaut

    A $1$ B $\dfrac12$ C $\dfrac{\sqrt2}{2}$ D $\dfrac14$

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    Réponse B. La dérivée vaut $\cos^2 x - \sin^2 x$ . Elle s'annule en $\dfrac{\pi}{4}$ , où la fonction vaut $\dfrac{\sqrt2}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac12$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.