Variations et courbes

3.1 Réduire l'intervalle d'étude

Les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$ : on les étudie sur $[-\pi\,;\pi]$. Comme $\cos$ est paire et $\sin$ impaire, on peut même se limiter à $[0\,;\pi]$, et compléter par symétrie.

3.2 Variations de cosinus

Sur $[0\,;\pi]$, $\cos'(x) = -\sin x$ et $\sin x \geq 0$, donc $\cos'(x) \leq 0$, et $\cos'$ ne s'annule qu'en $0$ et en $\pi$ : $\cos$ est strictement décroissante sur $[0\,;\pi]$, de $1$ à $-1$. Par parité, elle est strictement croissante sur $[-\pi\,;0]$.

Le maximum de $\cos$ vaut $1$, atteint en $0$ ; son minimum vaut $-1$, atteint en $-\pi$ et en $\pi$.

3.3 Variations de sinus

Sur $[-\pi\,;\pi]$, $\sin'(x) = \cos x$. Or $\cos x > 0$ sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ et $\cos x < 0$ sur le reste de l'intervalle, sauf aux points $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ où il s'annule.

3.4 Les courbes

Les courbes de sinus et de cosinus s'appellent des sinusoïdes. Elles ont la même forme : comme $\sin x = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$, la courbe de sinus est l'image de la courbe de cosinus par la translation de vecteur $\dfrac{\pi}{2}\,\vec{\imath}$.

Pour les tracer, on place les points des valeurs remarquables et les tangentes utiles : la tangente $y = x$ en $0$ pour sinus, les tangentes horizontales aux sommets.

Limites. Comme on l'a vu au chapitre 4, $\cos$ et $\sin$ n'ont pas de limite en $+\infty$ ni en $-\infty$ : elles oscillent sans fin entre $-1$ et $1$. Leur encadrement sert en revanche dans les théorèmes de comparaison.

Exemple 13. Pour tout réel $x$, $x - 1 \leq x + \cos x \leq x + 1$. Par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} (x + \cos x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} (x + \cos x) = -\infty$. De plus, $(x + \cos x)' = 1 - \sin x \geq 0$ : cette fonction est croissante sur $\mathbb{R}$.

Exemple 14. Pour $x > 0$, $-\dfrac1x \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac1x$. Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$.

3.5 Convexité

Pour tout réel $x$, $\sin''(x) = -\sin x$ et $\cos''(x) = -\cos x$.

• Sur $[0\,;\pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $\sin'' \leq 0$ : $\sin$ est concave sur $[0\,;\pi]$. Sur $[-\pi\,;0]$, elle est convexe. En $0$, $\sin''$ s'annule en changeant de signe : le point d'abscisse $0$ est un point d'inflexion.
• Sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\cos x \geq 0$, donc $\cos$ est concave sur cet intervalle. Sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$, elle est convexe. Les points d'abscisses $-\dfrac{\pi}{2}$ et $\dfrac{\pi}{2}$ sont des points d'inflexion.

Conséquence. Une fonction concave est sous ses tangentes (chapitre 5). Sur $[0\,;\pi]$, la courbe de sinus est donc sous sa tangente en $0$ : $\text{pour tout } x \in [0\,;\pi], \quad \sin x \leq x.$ Pour $x > \pi$, l'inégalité reste vraie, car $\sin x \leq 1 < \pi < x$.

3.6 Période de $\cos(\omega x)$ et $\sin(\omega x)$

Propriété. Pour $\omega > 0$, les fonctions $x \mapsto \cos(\omega x)$ et $x \mapsto \sin(\omega x)$ sont périodiques, de période $\dfrac{2\pi}{\omega}$.

En effet, $\cos\left(\omega\left(x + \dfrac{2\pi}{\omega}\right)\right) = \cos(\omega x + 2\pi) = \cos(\omega x)$, et de même pour le sinus.

Exemple 15. Étudions $f : x \mapsto \cos(2x)$. Elle est paire, et périodique de période $\pi$ : on l'étudie sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$. On a $f'(x) = -2\sin(2x)$. Pour $x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $2x \in [0\,;\pi]$, donc $\sin(2x) \geq 0$ et $f'(x) \leq 0$ : $f$ décroît de $f(0) = 1$ à $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -1$.

Exemple 16 : la tension d'une prise électrique. La tension, en volts, vaut $u(t) = 325\sin(100\pi\,t)$, où $t$ est en secondes. Sa période est $\dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02$ s. La tension fait donc $\dfrac{1}{0{,}02} = 50$ oscillations complètes par seconde : c'est la fréquence de $50$ hertz du réseau français. Elle varie de $-325$ à $325$ volts, et atteint son maximum pour la première fois en $t = 0{,}005$ s.