Projeté orthogonal, distance d'un point à une droite ou à un plan

6.1 Définitions

Définition. Soit $M$ un point.

• Le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que la droite $(MH)$ soit perpendiculaire à $d$ (si $M \in d$, $H = M$).
• Le projeté orthogonal de $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point $H$ de $\mathcal{P}$ tel que la droite $(MH)$ soit orthogonale à $\mathcal{P}$ (si $M \in \mathcal{P}$, $H = M$).

Dans les deux cas, ce point existe et il est unique (admis).

6.2 Le point le plus proche (démonstration du programme)

Théorème. Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$.

Démonstration. Soit $N$ un point quelconque de $\mathcal{P}$. On a $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}$, donc $MN^2 = \lVert\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}\rVert^2 = MH^2 + 2\,\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} + HN^2.$ Le vecteur $\overrightarrow{HN}$ est dans la direction de $\mathcal{P}$ (les points $H$ et $N$ sont dans $\mathcal{P}$), et $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à $\mathcal{P}$ : donc $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} = 0$. Il reste $MN^2 = MH^2 + HN^2 \geq MH^2,$ avec égalité si et seulement si $HN = 0$, c'est-à-dire $N = H$. Comme les longueurs sont positives, $MN \geq MH$ pour tout $N$ de $\mathcal{P}$, avec égalité seulement pour $N = H$. C'est le théorème de Pythagore dans le triangle $MHN$, rectangle en $H$.

Le même raisonnement montre que le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $d$ est le point de $d$ le plus proche de $M$.

Définitions. La distance de $M$ au plan $\mathcal{P}$ est la longueur $MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$. De même, la distance de $M$ à la droite $d$ est $MH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $d$.

6.3 Trouver le projeté sur une droite

Méthode. Soit $d$ la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$, et $M$ un point. Le projeté $H$ est sur $d$, donc $\overrightarrow{AH} = t\,\vec{u}$ pour un réel $t$. Comme $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HM}$ et $\overrightarrow{HM} \cdot \vec{u} = 0$ : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = t\,\lVert\vec{u}\rVert^2 \qquad \text{donc} \qquad t = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u}}{\lVert\vec{u}\rVert^2}.$ On retrouve la propriété de projection de Première : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = \overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}$.

Exemple 22. Dans le cube, la distance du point $B$ à la droite $(AG)$. Ici $\vec{u} = \overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1)$ et $\overrightarrow{AB}\,(1\,;0\,;0)$, donc $t = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG}}{AG^2} = \dfrac13$. Le projeté de $B$ est le point $K$ tel que $\overrightarrow{AK} = \dfrac13\overrightarrow{AG}$, c'est-à-dire $K\left(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\right)$. Alors $\overrightarrow{BK}\left(-\frac23\,;\frac13\,;\frac13\right)$, $BK^2 = \dfrac49 + \dfrac19 + \dfrac19 = \dfrac23$, et la distance de $B$ à $(AG)$ vaut $BK = \sqrt{\dfrac23} = \dfrac{\sqrt6}{3} \approx 0{,}82$.

Exemple 23. Dans le cube, la distance du point $A$ au plan $(BDE)$. Au chapitre 3, on a montré que le point $K$ de l'exemple 22 est dans le plan $(BDE)$. D'après l'exemple 16, $(AG)$ est orthogonale à $(BDE)$, et $K$ est sur $(AG)$. Donc $K$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BDE)$, et $d\left(A, (BDE)\right) = AK = \frac13 AG = \frac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}58.$

Exemple 24. La droite $d$ passe par $A(1\,;0\,;2)$ et elle est dirigée par $\vec{u}\,(2\,;1\,;-2)$. Soit $M(4\,;3\,;2)$. Alors $\overrightarrow{AM}\,(3\,;3\,;0)$, $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 6 + 3 + 0 = 9$ et $\lVert\vec{u}\rVert^2 = 9$, donc $t = 1$ et $H = A + \vec{u}$, soit $H(3\,;1\,;0)$. Vérification : $\overrightarrow{MH}\,(-1\,;-2\,;-2)$ et $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = -2 - 2 + 4 = 0$. La distance de $M$ à $d$ est $MH = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.

Pour un plan, le projeté se trouve dans ce chapitre sur des figures où l'on peut deviner le point $H$ puis le vérifier : $H$ est dans le plan, et $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. Le calcul systématique des coordonnées du projeté sur un plan donné par une équation est au chapitre 10.