Devoir sur 20 : Orthogonalité et distances

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (8 points)

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $1$ : $ABCD$ est la face du bas, et $E$ , $F$ , $G$ , $H$ sont au-dessus de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ .

Donner les coordonnées des points $B$ , $D$ , $E$ , $F$ et $G$ . (1 point)
Montrer que la droite $(DF)$ est orthogonale au plan $(BEG)$ . (2 points)
Calculer une mesure de l'angle $\widehat{EBG}$ . Quelle est la nature du triangle $BEG$ ? (1,5 point)
Soit $P\left(\frac23\,;\frac13\,;\frac23\right)$ . Montrer que $\overrightarrow{DP} = \frac23\overrightarrow{DF}$ et que $\overrightarrow{BP} = \frac13\overrightarrow{BE} + \frac13\overrightarrow{BG}$ . En déduire que $P$ est le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(BEG)$ , puis la distance du point $D$ à ce plan. (2 points)
Calculer l'aire du triangle $BEG$ , puis le volume du tétraèdre $DBEG$ . (1,5 point)

Exercice 2 (7 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(2\,;1\,;-1)$ , $B(3\,;3\,;1)$ , $M(5\,;2\,;1)$ et $C(0\,;2\,;-1)$ .

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AM}$ , puis les longueurs $AB$ et $AM$ . (1 point)
Calculer une mesure de l'angle $\widehat{MAB}$ au dixième de degré près. (1,5 point)
Calculer $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BM}$ . En déduire le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$ , puis la distance de $M$ à cette droite. (2 points)
Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et normal à $\overrightarrow{AB}$ . Les points $M$ et $C$ appartiennent-ils à $\mathcal{P}$ ? (1,5 point)
Déterminer le point de l'axe des abscisses situé à égale distance de $A$ et de $M$ . (1 point)

Exercice 3 (5 points)

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que $\lVert\vec{u}\rVert = 4$ , $\lVert\vec{v}\rVert = 3$ et $\lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert = \sqrt{13}$ .

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ . (1,5 point)
En déduire une mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . (1 point)
Calculer $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert$ . (1 point)
Calculer $\left(\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} - \vec{v}\right)$ . (0,5 point)
Déterminer le réel $k$ tel que $\vec{u} + k\vec{v}$ soit orthogonal à $\vec{v}$ . (1 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

$B(1\,;0\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ , $E(0\,;0\,;1)$ , $F(1\,;0\,;1)$ , $G(1\,;1\,;1)$ . (1 point)
$\overrightarrow{DF}\,(1\,;-1\,;1)$ , $\overrightarrow{BE}\,(-1\,;0\,;1)$ , $\overrightarrow{BG}\,(0\,;1\,;1)$ . $\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{BE} = -1 + 0 + 1 = 0$ et $\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{BG} = 0 - 1 + 1 = 0$ . Les droites $(BE)$ et $(BG)$ sont sécantes en $B$ : $(DF)$ est orthogonale au plan $(BEG)$ . (2 points : 0,5 par produit scalaire, 1 pour la conclusion avec les deux droites sécantes)
$\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{BG} = 0 + 0 + 1 = 1$ et $BE = BG = \sqrt2$ , donc $\cos\widehat{EBG} = \dfrac12$ et $\widehat{EBG} = 60°$ . Comme $BE = BG$ , le triangle est isocèle avec un angle de $60°$ : il est équilatéral (et $EG = \sqrt2$ ). (1,5 point)
$\overrightarrow{DP}\left(\frac23\,;-\frac23\,;\frac23\right) = \frac23\overrightarrow{DF}$ : $P$ est sur la droite $(DF)$ . $\overrightarrow{BP}\left(-\frac13\,;\frac13\,;\frac23\right)$ et $\frac13\overrightarrow{BE} + \frac13\overrightarrow{BG} = \left(-\frac13\,;\frac13\,;\frac23\right)$ : $P$ est dans le plan $(BEG)$ . Comme $(DP) = (DF)$ est orthogonale à ce plan, $P$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(BEG)$ , et $d\left(D, (BEG)\right) = DP = \frac23 DF = \frac23\sqrt3 = \dfrac{2\sqrt3}{3} \approx 1{,}15$ . (2 points)
Le triangle $BEG$ est équilatéral de côté $\sqrt2$ : son aire vaut $\dfrac{\sqrt3}{4} \times 2 = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (hauteur $\sqrt2 \times \frac{\sqrt3}{2}$ ). Le volume du tétraèdre est $V = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac13$ . Remarque : $DBEG$ est un tétraèdre régulier, ses six arêtes sont des diagonales de faces. (1,5 point)

Exercice 2

$\overrightarrow{AB}\,(1\,;2\,;2)$ et $\overrightarrow{AM}\,(3\,;1\,;2)$ ; $AB = \sqrt9 = 3$ et $AM = \sqrt{14}$ . (1 point)
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 3 + 2 + 4 = 9$ , donc $\cos\widehat{MAB} = \dfrac{9}{3\sqrt{14}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} \approx 0{,}802$ et $\widehat{MAB} \approx 36{,}7°$ . (1,5 point)
$\overrightarrow{BA}\,(-1\,;-2\,;-2)$ et $\overrightarrow{BM}\,(2\,;-1\,;0)$ : $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BM} = -2 + 2 + 0 = 0$ . Donc $(BM) \perp (AB)$ et $B \in (AB)$ : $B$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$ . La distance de $M$ à $(AB)$ est $MB = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt5 \approx 2{,}24$ . (2 points)
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 9 \neq 0$ : $M \notin \mathcal{P}$ . $\overrightarrow{AC}\,(-2\,;1\,;0)$ et $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = -2 + 2 + 0 = 0$ : $C \in \mathcal{P}$ . (1,5 point)
Le milieu de $[AM]$ est $J\left(\frac72\,;\frac32\,;0\right)$ . Pour $X(x\,;0\,;0)$ : $\overrightarrow{JX}\left(x - \frac72\,;-\frac32\,;0\right)$ et $\overrightarrow{JX} \cdot \overrightarrow{AM} = 3x - \frac{21}{2} - \frac32 = 3x - 12$ , nul pour $x = 4$ . Le point cherché est $(4\,;0\,;0)$ ; vérification : sa distance à $A$ et à $M$ vaut $\sqrt6$ . (1 point)

Exercice 3

Polarisation : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac12\left(\lVert\vec{u}\rVert^2 + \lVert\vec{v}\rVert^2 - \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2\right) = \dfrac12\left(16 + 9 - 13\right) = 6$ . (1,5 point)
$\cos\theta = \dfrac{6}{4 \times 3} = \dfrac12$ , donc $\theta = 60°$ . (1 point)
$\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 = 16 + 2 \times 6 + 9 = 37$ , donc $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert = \sqrt{37}$ . (1 point)
$\left(\vec{u} + \vec{v}\right) \cdot \left(\vec{u} - \vec{v}\right) = 16 - 9 = 7$ . (0,5 point)
$\left(\vec{u} + k\vec{v}\right) \cdot \vec{v} = 6 + 9k$ , nul pour $k = -\dfrac23$ . (1 point)