Base orthonormée, repère orthonormé, coordonnées

2.1 Définitions

Définition. Une base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ de l'espace est orthonormée si ses vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme $1$ : $\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} = \vec{\imath} \cdot \vec{k} = \vec{\jmath} \cdot \vec{k} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lVert\vec{\imath}\rVert = \lVert\vec{\jmath}\rVert = \lVert\vec{k}\rVert = 1.$ Si $O$ est un point, $(O\,;\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ est alors un repère orthonormé.

Dans le cube d'arête $1$, le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ est orthonormé. On y lit $B(1\,;0\,;0)$, $C(1\,;1\,;0)$, $D(0\,;1\,;0)$, $E(0\,;0\,;1)$, $F(1\,;0\,;1)$, $G(1\,;1\,;1)$, $H(0\,;1\,;1)$.

2.2 Produit scalaire et norme en coordonnées

Propriété. Dans une base orthonormée, si $\vec{u}\,(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y'\,;z')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' \qquad \text{et} \qquad \lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$

Démonstration. $\vec{u} = x\vec{\imath} + y\vec{\jmath} + z\vec{k}$ et $\vec{v} = x'\vec{\imath} + y'\vec{\jmath} + z'\vec{k}$. On développe $\vec{u} \cdot \vec{v}$ par bilinéarité : on obtient neuf termes. Les six termes croisés contiennent $\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath}$, $\vec{\imath} \cdot \vec{k}$ ou $\vec{\jmath} \cdot \vec{k}$, qui sont nuls ; les trois autres contiennent $\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} = \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1$. Il reste $xx' + yy' + zz'$. Avec $\vec{v} = \vec{u}$, on obtient $\lVert\vec{u}\rVert^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

On retrouve le théorème de Pythagore appliqué deux fois dans un pavé : si $M(x\,;y\,;z)$ et $P(x\,;y\,;0)$, alors $OP^2 = x^2 + y^2$, puis $OM^2 = OP^2 + PM^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

2.3 Distance entre deux points

Propriété. Dans un repère orthonormé, la distance entre $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ est $AB = \lVert\overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$

Exemple 6. Dans un repère orthonormé, $\vec{u}\,(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}\,(1\,;5\,;1)$.

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 1 + (-1) \times 5 + 3 \times 1 = 2 - 5 + 3 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.
• $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$ et $\lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt3$.

Exemple 7. $A(1\,;2\,;-1)$ et $B(3\,;-1\,;5)$. Alors $\overrightarrow{AB}\,(2\,;-3\,;6)$ et $AB = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$. Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(2\,;\frac12\,;2\right)$.

Exemple 8. Dans le cube, $\overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1)$ donne $AG = \sqrt3$ : c'est la longueur d'une grande diagonale. Et $\overrightarrow{BH}\,(-1\,;1\,;1)$ donne $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BH} = -1 + 1 + 1 = 1$.

2.4 Attention : base orthonormée obligatoire

Ces formules sont fausses dans une base qui n'est pas orthonormée. Dans le cube, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})$ est une base (chapitre 3), dans laquelle $\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $(0\,;1\,;0)$. La formule donnerait une norme égale à $1$, alors que $AC = \sqrt2$. La base n'est pas orthonormée : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \neq 0$.