Suites et fonctions continues

7.1 Image d'une suite convergente (admis)

Propriété. Si une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ (et définie en chaque $u_n$), alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.

Exemple 17. $u_n = 2 + \dfrac{1}{n + 1}$ tend vers $2$. La fonction exponentielle est continue en $2$, donc $\mathrm{e}^{u_n} \to \mathrm{e}^2$. La racine carrée est continue en $9$, donc $\sqrt{u_n + 7} \to \sqrt9 = 3$.

7.2 La limite d'une suite récurrente est un point fixe

Théorème. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $(u_n)$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, dont tous les termes sont dans $I$. Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ de $I$, alors $f(\ell) = \ell$.

Justification. Quand $n \to +\infty$, $u_{n+1} \to \ell$ (ce sont les mêmes termes, décalés d'un rang). Par continuité de $f$ en $\ell$, $f(u_n) \to f(\ell)$. Or $u_{n+1} = f(u_n)$ : par unicité de la limite, $\ell = f(\ell)$. On dit que $\ell$ est un point fixe de $f$ : c'est l'abscisse d'un point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de la droite d'équation $y = x$.

Remarque. Si $I = [a\,;b]$ est fermé, la condition $\ell \in I$ est automatique : de $a \leq u_n \leq b$ pour tout $n$, on déduit $a \leq \ell \leq b$ par passage à la limite (chapitre 2).

7.3 Un exemple du chapitre 1

Exemple 18. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. Au chapitre 1, on a démontré par récurrence que $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$ pour tout $n$.

1. La suite est croissante et majorée par $3$ : elle converge vers un réel $\ell$ (chapitre 2), avec $1 \leq \ell \leq 3$.
2. La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x + 6}$ est continue sur $[1\,;3]$, et tous les termes sont dans $[1\,;3]$. Donc $\ell = \sqrt{\ell + 6}$.
3. Comme $\ell \geq 0$, cela équivaut à $\ell^2 = \ell + 6$, soit $\ell^2 - \ell - 6 = 0$, soit $(\ell - 3)(\ell + 2) = 0$. La solution $-2$ est exclue car $\ell \geq 1$.

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 3$. Sur le dessin « en escalier », les termes $u_0 = 1$, $u_1 = \sqrt7 \approx 2{,}646$, $u_2 \approx 2{,}940$, $u_3 \approx 2{,}990$ montrent vers le point $(3\,;3)$.

7.4 La méthode

Le programme demande, « pour une fonction continue $f$ d'un intervalle dans lui-même », d'étudier une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. Encadrer : trouver un intervalle $I$ stable par $f$ (c'est-à-dire $f(x) \in I$ pour tout $x \in I$, chapitre 1) contenant $u_0$ ; tous les termes sont alors dans $I$.
2. Sens de variation : par récurrence, ou avec la propriété du chapitre 1 ($f$ croissante sur $I$ stable : la suite est croissante si $u_0 \leq u_1$, décroissante si $u_0 \geq u_1$).
3. Convergence : une suite monotone et bornée converge (chapitre 2).
4. Limite : elle est solution de $f(x) = x$ dans $I$ ; on élimine les solutions qui ne conviennent pas.

7.5 Attention

L'équation $f(\ell) = \ell$ donne seulement les limites possibles ; elle ne prouve pas que la suite converge.

Exemple 19. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n^2$. On obtient $2$, $4$, $16$, $256$… : la suite est croissante et $u_n \geq n + 2$ pour tout $n$ (récurrence), donc elle tend vers $+\infty$. Pourtant, l'équation $x^2 = x$ a deux solutions, $0$ et $1$.