Continuité et valeurs intermédiaires

1. Question 1 sur 20Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ . Dire que $f$ est continue en $a$ signifie que

   A $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ B $f(a)$ existe C $f$ est dérivable en $a$ D $f(a) = 0$

   Voir la réponse

   Réponse A. C'est la définition. Une fonction peut être définie en $a$ sans y être continue (réponse B), et une fonction continue n'est pas toujours dérivable (réponse C).

2. Question 2 sur 20Soit $f(x) = x^2$ si $x \leq 2$ et $f(x) = x + m$ si $x > 2$ . La fonction $f$ est continue en $2$ si

   A $m = 4$ B $m = 2$ C $m = 0$ D $m = -2$

   Voir la réponse

   Réponse B. $f(2) = 4$ et la limite à droite vaut $2 + m$ : il faut $2 + m = 4$ .

3. Question 3 sur 20Un parking coûte $2$ euros par heure entamée. La fonction « prix », pour une durée $t$ en heures, est continue en

   A $t = 1$ B $t = 2$ C $t = 1{,}5$ D $t = 3$

   Voir la réponse

   Réponse C. Le prix est constant ( $4$ euros) autour de $1{,}5$ . En $1$ , $2$ et $3$ , il fait un saut.

4. Question 4 sur 20Quelle affirmation est vraie pour toute fonction $f$ et tout réel $a$ ?

   A Si $f$ est dérivable en $a$ , elle est continue en $a$ B Si $f$ est continue en $a$ , elle est dérivable en $a$ C Si $f$ n'est pas dérivable en $a$ , elle n'est pas continue en $a$ D Si $f$ n'est pas continue en $a$ , elle est dérivable en $a$

   Voir la réponse

   Réponse A. C'est le théorème du cours. La racine carrée en $0$ est un contre-exemple pour B et C.

5. Question 5 sur 20En $0$ , la fonction racine carrée est

   A continue et dérivable B continue, mais pas dérivable C ni continue, ni dérivable D dérivable, mais pas continue

   Voir la réponse

   Réponse B. $\sqrt x \to 0 = \sqrt 0$ , mais le taux $\frac{\sqrt h}{h} = \frac{1}{\sqrt h}$ tend vers $+\infty$ . La réponse D est impossible : dérivable implique continue.

6. Question 6 sur 20$\displaystyle\lim_{x\to1} \sqrt{x^2 + 8} =$

   A $3$ B $9$ C $1$ D $+\infty$

   Voir la réponse

   Réponse A. La fonction est continue en $1$ : la limite est sa valeur, $\sqrt{9} = 3$ .

7. Question 7 sur 20$f$ est continue sur $[0\,;4]$ , avec $f(0) = -2$ et $f(4) = 5$ . Alors

   A l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;4]$ B l'équation $f(x) = 0$ a exactement une solution dans $[0\,;4]$ C l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans $[0\,;4]$ D $f$ est croissante sur $[0\,;4]$

   Voir la réponse

   Réponse A. Théorème des valeurs intermédiaires : $0$ est compris entre $-2$ et $5$ . Sans monotonie, on ne sait pas combien il y a de solutions.

8. Question 8 sur 20Pour $f(x) = x^3 - 3x + 1$ , le théorème des valeurs intermédiaires garantit une solution de $f(x) = 0$ dans

   A $[0\,;1]$ B $[2\,;3]$ C $[-1\,;0]$ D $[3\,;4]$

   Voir la réponse

   Réponse A. $f(0) = 1$ et $f(1) = -1$ sont de signes contraires. Dans les autres intervalles, $f$ garde le même signe aux deux bornes, et il n'y a d'ailleurs aucune solution.

9. Question 9 sur 20Soit $g$ définie sur $[-1\,;1]$ par $g(x) = -1$ si $x < 0$ et $g(x) = 1$ si $x \geq 0$ . L'équation $g(x) = 0$

   A n'a aucune solution B a une solution C a deux solutions D a une infinité de solutions

   Voir la réponse

   Réponse A. $g$ ne prend que les valeurs $-1$ et $1$ . Le théorème ne s'applique pas : $g$ n'est pas continue en $0$ .

10. Question 10 sur 20$f$ est continue et strictement décroissante sur $[1\,;3]$ , avec $f(1) = 4$ et $f(3) = -2$ . L'équation $f(x) = 1$

    A a une unique solution dans $[1\,;3]$ B n'a pas de solution dans $[1\,;3]$ C a au moins deux solutions dans $[1\,;3]$ D on ne peut pas savoir

    Voir la réponse

    Réponse A. $1$ est compris entre $-2$ et $4$ , et $f$ est continue et strictement monotone : une solution, et une seule.

11. Question 11 sur 20$f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ , avec $f(0) = -3$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 2$ . L'équation $f(x) = 3$

    A n'a aucune solution B a une unique solution C a deux solutions D a une infinité de solutions

    Voir la réponse

    Réponse A. $f$ prend ses valeurs dans $[-3\,;2[$ : elle n'atteint jamais $3$ .

12. Question 12 sur 20$f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante sur $]-\infty\,;1]$ de $-\infty$ à $5$ , puis strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ de $5$ à une limite égale à $2$ en $+\infty$ . Le nombre de solutions de $f(x) = 3$ est

    A $2$ B $1$ C $0$ D $3$

    Voir la réponse

    Réponse A. Une solution sur $]-\infty\,;1]$ ( $3$ est entre $-\infty$ et $5$ ), une sur $[1\,;+\infty[$ ( $3$ est entre $2$ et $5$ ).

13. Question 13 sur 20Dichotomie sur $[0\,;1]$ pour une fonction continue avec $f(0) < 0$ , $f(1) > 0$ et $f(0{,}5) > 0$ . L'intervalle suivant est

    A $[0\,;0{,}5]$ B $[0{,}5\,;1]$ C $[0{,}25\,;0{,}75]$ D $[0\,;1]$

    Voir la réponse

    Réponse A. $f(0)$ et $f(0{,}5)$ sont de signes contraires : $f$ change de signe entre $0$ et $0{,}5$ .

14. Question 14 sur 20On part d'un intervalle d'amplitude $1$ . Après $6$ étapes de dichotomie, l'amplitude vaut

    A $\dfrac{1}{64}$ B $\dfrac{1}{12}$ C $\dfrac16$ D $\dfrac{1}{32}$

    Voir la réponse

    Réponse A. Chaque étape divise l'amplitude par $2$ : $\dfrac{1}{2^6} = \dfrac{1}{64}$ .

15. Question 15 sur 20Avec $f(x) = x^2 - 2$ et la fonction dichotomie du cours, l'appel dichotomie(1, 2, 0.1) renvoie

    A (1.375, 1.4375) B (1.4, 1.5) C (1.25, 1.5) D (1.41, 1.42)

    Voir la réponse

    Réponse A. Les milieux successifs sont $1{,}5$ , $1{,}25$ , $1{,}375$ et $1{,}4375$ ; la boucle s'arrête quand l'amplitude $0{,}0625$ ne dépasse plus $0{,}1$ .

16. Question 16 sur 20La méthode de Newton calcule

    A $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ B $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f'(x_n)}{f(x_n)}$ C $x_{n+1} = x_n + \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ D $x_{n+1} = \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

    Voir la réponse

    Réponse A. C'est l'abscisse du point où la tangente en $x_n$ coupe l'axe des abscisses.

17. Question 17 sur 20Pour $f(x) = x^2 - 3$ et $x_0 = 2$ , la méthode de Newton donne $x_1 =$

    A $1{,}75$ B $1{,}5$ C $2{,}25$ D $1{,}7$

    Voir la réponse

    Réponse A. $f(2) = 1$ et $f'(2) = 4$ , donc $x_1 = 2 - \dfrac14 = 1{,}75$ .

18. Question 18 sur 20La méthode de Newton ne peut pas calculer $x_1$ à partir de $x_0$ lorsque

    A $f'(x_0) = 0$ B $f(x_0) = 0$ C $x_0 = 0$ D $f(x_0) < 0$

    Voir la réponse

    Réponse A. La tangente est alors horizontale : elle ne coupe pas l'axe des abscisses, et la formule divise par $0$ . Si $f(x_0) = 0$ , $x_0$ est déjà une solution, et $x_1 = x_0$ .

19. Question 19 sur 20Si $(u_n)$ converge vers $4$ , alors la suite $\left(\sqrt{u_n}\right)$ converge vers

    A $2$ B $4$ C $16$ D elle diverge

    Voir la réponse

    Réponse A. La racine carrée est continue en $4$ : $\sqrt{u_n} \to \sqrt4 = 2$ .

20. Question 20 sur 20Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On admet que $(u_n)$ converge. Sa limite est

    A $2$ B $-1$ C $\sqrt2$ D $0$

    Voir la réponse

    Réponse A. La limite $\ell \geq 0$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , soit $\ell^2 - \ell - 2 = (\ell - 2)(\ell + 1) = 0$ ; la solution $-1$ est exclue.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.