Dérivabilité et continuité

2.1 Le théorème

Théorème. Si $f$ est dérivable en un réel $a$, alors $f$ est continue en $a$. Par conséquent, une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.

Pourquoi. Pour $x \neq a$, on écrit $f(x) - f(a) = (x - a) \times \frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$ Quand $x$ tend vers $a$, le premier facteur tend vers $0$ et le second vers le nombre dérivé $f'(a)$. Par produit, $f(x) - f(a)$ tend vers $0 \times f'(a) = 0$, c'est-à-dire $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$.

2.2 La réciproque est fausse

Une fonction peut être continue en $a$ sans y être dérivable.

Exemple 5 (la racine carrée en $0$). $\lim\limits_{x\to0} \sqrt{x} = 0 = \sqrt0$ : la fonction racine carrée est continue en $0$. Mais, pour $h > 0$, son taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt h}{h} = \frac{1}{\sqrt h},$ qui tend vers $+\infty$ quand $h$ tend vers $0$. La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ : sa courbe y a une tangente verticale.

Exemple 6 (un angle). La fonction valeur absolue, $x \mapsto |x|$, vaut $-x$ si $x < 0$ et $x$ si $x \geq 0$. Ses limites à gauche et à droite en $0$ valent $0 = |0|$ : elle est continue en $0$. Mais son taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{|h|}{h}$, égal à $1$ si $h > 0$ et à $-1$ si $h < 0$ : il n'a pas de limite, et la fonction n'est pas dérivable en $0$. Sa courbe forme un angle à l'origine.

Contraposée. Le théorème s'écrit aussi : si $f$ n'est pas continue en $a$, alors elle n'y est pas dérivable. Le prix du parking (exemple 1) n'est pas dérivable en $1$.

2.3 Les fonctions continues à connaître (admis)

Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues sur chaque intervalle où elles sont définies. On l'admet. En pratique, pour une fonction construite à partir des fonctions de référence, il suffit de citer ce résultat : la seule vraie question de continuité se pose aux points de raccord d'une fonction définie par morceaux.

2.4 Des limites immédiates

Si $f$ est continue en $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$ : il suffit de remplacer $x$ par $a$.

Exemple 7. $\lim\limits_{x\to2} \sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\mathrm{e}^x}{x + 1} = \dfrac{1}{1} = 1$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-1} \left(x^3 - 3x + 1\right) = 3$.

Lien avec les chapitres précédents. Au chapitre 4, on a admis que la limite en $a$ d'une fonction de référence définie en $a$ est sa valeur en $a$ : c'est exactement leur continuité. Au chapitre 5, pour comprendre la dérivée d'une composée, on a admis que $u(x)$ tend vers $u(a)$ quand $u$ est dérivable en $a$ : c'est le théorème 2.1.

2.5 Une convention des tableaux de variations

Dans un tableau de variations, une flèche oblique signifie que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle correspondant. C'est la convention utilisée dans les manuels et dans les sujets d'examen ; on s'en sert à la leçon 4 pour compter les solutions d'une équation.