Devoir sur 20 : Continuité et valeurs intermédiaires

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (5 points)

Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $[-3\,;+\infty[$ par $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x + 3} & \text{si } -3 \leq x \leq 1 \\ ax - 4 & \text{si } x > 1. \end{cases}$

Calculer $f(1)$ et $\lim\limits_{x\to1^+} f(x)$ en fonction de $a$ . (1 point)
Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $1$ . (1 point)
Avec cette valeur de $a$ , justifier que $f$ est continue sur $[-3\,;+\infty[$ . (1,5 point)
La fonction $f$ est-elle dérivable en $-3$ ? Justifier à l'aide du taux de variation. (1,5 point)

Exercice 2 (9 points)

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (2 - x)\,\mathrm{e}^x - 1$ .

Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . On rappelle que $\lim\limits_{x\to-\infty} x\,\mathrm{e}^x = 0$ . (2 points)
Montrer que $g'(x) = (1 - x)\,\mathrm{e}^x$ , puis dresser le tableau de variations complet de $g$ . (2 points)
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $\mathbb{R}$ , notées $\alpha < \beta$ . (2 points)
Montrer que $1{,}8 < \beta < 1{,}9$ . (1 point)
Dresser le tableau de signes de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ . (1 point)
On applique la méthode de Newton à $g$ , avec $x_0 = 2$ . Calculer la valeur exacte de $x_1$ , puis une valeur approchée au millième. (1 point)

Exercice 3 (6 points)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \sqrt{4u_n + 5}$ . On note $f$ la fonction définie sur $\left[-\frac54\,;+\infty\right[$ par $f(x) = \sqrt{4x + 5}$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ (valeurs exactes, puis approchées au centième). (1 point)
Montrer que $f$ est croissante sur $\left[-\frac54\,;+\infty\right[$ . (1 point)
Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ , $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 5$ . (2 points)
En déduire que $(u_n)$ converge, puis déterminer sa limite. (2 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) $f(1) = \sqrt{1 + 3} = 2$ ; $\lim\limits_{x\to1^+} (ax - 4) = a - 4$ .

2. (1 pt) À gauche, $\sqrt{x + 3} \to 2 = f(1)$ . $f$ est continue en $1$ si et seulement si $a - 4 = 2$ , soit $a = 6$ .

3. (1,5 pt) Sur $[-3\,;1]$ , $x \mapsto \sqrt{x + 3}$ est continue (composée de $x \mapsto x + 3$ et de la racine carrée, avec $x + 3 \geq 0$ ). Sur $]1\,;+\infty[$ , $x \mapsto 6x - 4$ est affine, donc continue. En $1$ , $f$ est continue d'après la question 2. Donc $f$ est continue sur $[-3\,;+\infty[$ .

4. (1,5 pt) Pour $0 < h \leq 4$ : $\dfrac{f(-3 + h) - f(-3)}{h} = \dfrac{\sqrt h - 0}{h} = \dfrac{1}{\sqrt h}$ , qui tend vers $+\infty$ quand $h \to 0$ . $f$ n'est pas dérivable en $-3$ (tangente verticale), bien qu'elle y soit continue.

Exercice 2

1. (2 pts) En $-\infty$ : $g(x) = 2\,\mathrm{e}^x - x\,\mathrm{e}^x - 1$ ; $\mathrm{e}^x \to 0$ et $x\,\mathrm{e}^x \to 0$ , donc $\lim\limits_{x\to-\infty} g(x) = -1$ . En $+\infty$ : $2 - x \to -\infty$ et $\mathrm{e}^x \to +\infty$ , donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = -\infty$ .

2. (2 pts) $g'(x) = -\mathrm{e}^x + (2 - x)\,\mathrm{e}^x = (1 - x)\,\mathrm{e}^x$ , du signe de $1 - x$ . $g(1) = \mathrm{e} - 1 \approx 1{,}72$ .

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$
$g$	$-1$	croissante	$\mathrm{e} - 1$	décroissante	$-\infty$

3. (2 pts) Sur $]-\infty\,;1]$ , $g$ est continue et strictement croissante, de $-1$ (limite) à $\mathrm{e} - 1$ ; $0 \in\, ]-1\,;\mathrm{e} - 1]$ : une unique solution $\alpha$ . Sur $[1\,;+\infty[$ , $g$ est continue et strictement décroissante, de $\mathrm{e} - 1$ à $-\infty$ : une unique solution $\beta$ . L'équation a donc exactement deux solutions, $\alpha < 1 < \beta$ .

4. (1 pt) $g(1{,}8) \approx 0{,}210 > 0$ et $g(1{,}9) \approx -0{,}331 < 0$ . Comme $g$ est strictement décroissante sur $[1\,;+\infty[$ et $g(\beta) = 0$ : $1{,}8 < \beta < 1{,}9$ .

5. (1 pt)

$x$	$-\infty$		$\alpha$		$\beta$		$+\infty$
$g(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

6. (1 pt) $g(2) = 0 \times \mathrm{e}^2 - 1 = -1$ et $g'(2) = -\mathrm{e}^2$ . Donc $x_1 = 2 - \dfrac{-1}{-\mathrm{e}^2} = 2 - \mathrm{e}^{-2} \approx 1{,}865$ (pour information, $\beta \approx 1{,}841$ ).

Exercice 3

1. (1 pt) $u_1 = \sqrt5 \approx 2{,}24$ ; $u_2 = \sqrt{4\sqrt5 + 5} \approx 3{,}73$ .

2. (1 pt) $f$ est la composée de $x \mapsto 4x + 5$ , croissante, suivie de la racine carrée, croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $f$ est croissante sur $\left[-\frac54\,;+\infty\right[$ . (Ou : $f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{4x + 5}} > 0$ pour $x > -\frac54$ .)

3. (2 pts) Soit $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 5$ ».

Initialisation : $u_0 = 0$ et $u_1 = \sqrt5$ , et $0 \leq 0 \leq \sqrt5 \leq 5$ .
Hérédité : si $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 5$ , comme $f$ est croissante, $f(0) \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq f(5)$ , soit $\sqrt5 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 5$ (car $f(5) = \sqrt{25} = 5$ ), et $0 \leq \sqrt5$ .
Conclusion : pour tout $n$ , $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 5$ .

4. (2 pts) La suite est croissante et majorée par $5$ : elle converge vers un réel $\ell$ , et $0 \leq \ell \leq 5$ . La fonction $f$ est continue sur $[0\,;5]$ , qui contient tous les termes : $\ell = f(\ell) = \sqrt{4\ell + 5}$ . Comme $\ell \geq 0$ : $\ell^2 = 4\ell + 5$ , soit $\ell^2 - 4\ell - 5 = (\ell - 5)(\ell + 1) = 0$ . La solution $-1$ est exclue : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 5$ .