Approximation de π par la méthode d'Archimède, en Python

7.1 L'idée d'Archimède

Le nombre $\pi$ est le demi-périmètre du cercle trigonométrique. Archimède enferme le cercle entre deux polygones réguliers à $n$ côtés, l'un à l'intérieur, l'autre à l'extérieur. Leurs demi-périmètres encadrent $\pi$ : on admet que le polygone intérieur est plus court que le cercle, et le polygone extérieur plus long.

Exemple 18 (deux hexagones). L'hexagone régulier intérieur est fait de six triangles équilatéraux : son côté vaut $1$ et son demi-périmètre vaut $3$. L'hexagone extérieur en est un agrandissement, de rapport $\dfrac{1}{\cos\frac{\pi}{6}} = \dfrac{2}{\sqrt3}$. Son demi-périmètre vaut $3 \times \dfrac{2}{\sqrt3} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46$. Ainsi, $3 < \pi < 3{,}47$.

7.2 Doubler le nombre de côtés

Soit $c$ le côté d'un polygone intérieur, $A$ et $B$ deux sommets voisins, $H$ le milieu de $[AB]$ et $M$ le milieu de l'arc $AB$.

• Dans le triangle $OHA$, rectangle en $H$ : $OH^2 = 1 - \dfrac{c^2}{4}$, donc $OH = \sqrt{1 - \dfrac{c^2}{4}}$.
• On a $HM = 1 - OH$.
• Le nouveau côté est $AM$. Dans le triangle $AHM$, rectangle en $H$ : $AM^2 = \frac{c^2}{4} + (1 - OH)^2 = \frac{c^2}{4} + 1 - 2\,OH + OH^2 = 2 - 2\,OH.$

Comme $2\,OH = \sqrt{4 - c^2}$, le polygone à $2n$ côtés a pour côté $\sqrt{2 - \sqrt{4 - c^2}}.$

7.3 Le polygone extérieur

Le côté du polygone extérieur touche le cercle en $M$ et il est parallèle à $(AB)$. D'après le théorème de Thalès, le polygone extérieur est un agrandissement du polygone intérieur, de rapport $\dfrac{OM}{OH} = \dfrac{1}{OH}$. Si l'on note bas et haut les deux demi-périmètres : $\text{bas} = \frac{n \times c}{2}, \qquad \text{haut} = \frac{\text{bas}}{OH}.$

7.4 Le programme

La fonction encadrement reçoit le nombre k de doublements et renvoie la liste [bas, haut].

from math import sqrt

def encadrement(k):
    n = 6
    c = 1
    for i in range(k):
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c**2))
        n = 2 * n
    bas = n * c / 2
    haut = bas / sqrt(1 - c**2 / 4)
    return [bas, haut]

En langage naturel, la boucle s'écrit : $c \leftarrow \sqrt{2 - \sqrt{4 - c^2}}$, puis $n \leftarrow 2 \times n$. Le programme n'utilise que des racines carrées : il n'a pas besoin de connaitre $\pi$.

7.5 Les résultats

Avec $96$ côtés, le dernier polygone calculé par Archimède, on obtient $3{,}1410 < \pi < 3{,}1428$. À chaque doublement, l'écart entre les deux bornes est divisé par environ $4$.

7.6 Les limites de la machine

Avec dix doublements, encadrement(10) donne six décimales exactes de $\pi$ : $3{,}141592$. Mais encadrement(25) renvoie deux nombres proches de $3{,}354$, ce qui est faux. Quand le côté devient minuscule, le calcul de $2 - \sqrt{4 - c^2}$ soustrait deux nombres presque égaux, et les arrondis font perdre la précision. La méthode reste juste : c'est le calcul approché qui a ses limites.