Devoir sur 20 : Trigonométrie · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Convertir $210^\circ$ en radians.
Convertir $\dfrac{5\pi}{3}$ radians en degrés.
Donner la valeur exacte de $\cos\dfrac{\pi}{6}$ .
Donner la valeur exacte de $\cos\dfrac{3\pi}{4}$ .
Donner la valeur exacte de $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
Donner le réel de l'intervalle $]{-\pi}\,;\pi]$ qui a la même image que $\dfrac{9\pi}{2}$ .

Exercice 1 : une démonstration et une lecture du cercle (7 points)

Soit $M$ l'image de $\dfrac{\pi}{3}$ sur le cercle trigonométrique de centre $O$ , avec $I(1\,;0)$ . Démontrer que le triangle $OIM$ est équilatéral, puis en déduire la valeur de $\cos\dfrac{\pi}{3}$ et celle de $\sin\dfrac{\pi}{3}$ . (3 points)
Donner le cosinus et le sinus de $\dfrac{2\pi}{3}$ , de $\dfrac{4\pi}{3}$ et de $-\dfrac{\pi}{3}$ , en indiquant la symétrie utilisée. (1,5 point)
On note $A$ , $B$ , $C$ et $D$ les images respectives de $\dfrac{\pi}{3}$ , $\dfrac{2\pi}{3}$ , $\dfrac{4\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$ . Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle, puis calculer son aire. (1,5 point)
Sans calcul supplémentaire, donner $\sin\dfrac{13\pi}{3}$ . Justifier. (1 point)

Exercice 2 : l'arroseur (5 points)

Un arroseur de jardin est placé à l'origine $O$ d'un repère orthonormé, dont l'unité est le mètre. Son jet porte à $6$ mètres. Il balaie, dans le sens direct, les directions de $0$ à $\dfrac{2\pi}{3}$ radians à partir de l'axe des abscisses.

Aide au calcul : $\pi \approx 3{,}14$ et $\sqrt3 \approx 1{,}73$ .

Quelle longueur parcourt l'extrémité du jet lors d'un balayage complet ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au dixième. (1 point)
Le point $P$ est la position de l'extrémité du jet à la fin du balayage. Calculer ses coordonnées exactes. (1,5 point)
Un massif de fleurs se trouve au point $Q\left(3\,;3\sqrt3\right)$ . Montrer que $OQ = 6$ , puis expliquer pourquoi l'extrémité du jet atteint ce massif. (1,5 point)
Le point $R(6\,;0)$ est la position de départ. Calculer la distance $RP$ . (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}$ .
(1 pt) $\dfrac{5\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = 300$ , soit $300^\circ$ .
(1 pt) $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ .
(1 pt) $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
(1 pt) $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
(1 pt) $\dfrac{9\pi}{2} - 4\pi = \dfrac{\pi}{2}$ .

Exercice 1

1. (3 pts) On a $OI = OM = 1$ , donc le triangle $OIM$ est isocèle en $O$ . Son angle en $O$ mesure $60^\circ$ . Ses deux autres angles sont égaux et leur somme vaut $120^\circ$ : ils mesurent $60^\circ$ , et le triangle est équilatéral (1 pt). Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $M$ . Dans un triangle équilatéral, cette hauteur est aussi une médiane, donc $OH = \dfrac12$ : ainsi, $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$ (1 pt). Dans le triangle $OHM$ , rectangle en $H$ , le théorème de Pythagore donne $HM^2 = 1 - \dfrac14 = \dfrac34$ . Comme $HM > 0$ , on a $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (1 pt).

2. (1,5 pt) Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac12$ et $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ . Par symétrie par rapport à l'origine, $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac12$ et $\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac12$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

3. (1,5 pt) On a $A\left(\dfrac12\,;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ , $B\left(-\dfrac12\,;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ , $C\left(-\dfrac12\,;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ et $D\left(\dfrac12\,;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ . Les segments $[AC]$ et $[BD]$ sont deux diamètres du cercle : ils ont le même milieu $O$ et la même longueur $2$ . Le quadrilatère $ABCD$ est donc un rectangle. On a $AB = 1$ et $BC = \sqrt3$ , donc son aire vaut $\sqrt3$ .

4. (1 pt) On a $\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 4\pi$ : ce réel a la même image que $\dfrac{\pi}{3}$ . Donc $\sin\dfrac{13\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Exercice 2

1. (1 pt) L'angle est en radians, donc $\ell = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi \approx 12{,}6$ . L'extrémité du jet parcourt $4\pi$ mètres, soit environ $12{,}6$ mètres.

2. (1,5 pt) Le point $P$ est à $6$ mètres de $O$ , dans la direction $\dfrac{2\pi}{3}$ . Ses coordonnées sont $\left(6\cos\dfrac{2\pi}{3}\,;6\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$ , soit $P\left(-3\,;3\sqrt3\right)$ .

3. (1,5 pt) On a $OQ^2 = 3^2 + \left(3\sqrt3\right)^2 = 9 + 27 = 36$ , donc $OQ = 6$ . De plus, $Q = \left(6\cos\dfrac{\pi}{3}\,;6\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ : le point $Q$ est dans la direction $\dfrac{\pi}{3}$ , comprise entre $0$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ . L'extrémité du jet passe donc par le massif.

4. (1 pt) On a $RP^2 = (-3 - 6)^2 + \left(3\sqrt3\right)^2 = 81 + 27 = 108$ , donc $RP = \sqrt{108} = 6\sqrt3 \approx 10{,}4$ . La distance vaut environ $10{,}4$ mètres.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une démonstration rédigée, avec les hypothèses de chaque étape ; les mots justes (image, hypoténuse, médiane, symétrique, radian) ; une phrase de conclusion avec l'unité à l'exercice 2.