Valeurs remarquables

Les deux démonstrations de cette leçon sont à connaître.

5.1 Démonstration pour $\pi/4$

Soit $M$ l'image de $\dfrac{\pi}{4}$ et $H$ le point de l'axe des abscisses situé sous $M$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, et son angle en $O$ mesure $45^\circ$. Son angle en $M$ mesure donc aussi $45^\circ$ : le triangle est isocèle en $H$. On pose $a = OH = HM$.

D'après le théorème de Pythagore, $a^2 + a^2 = 1$, soit $2a^2 = 1$, soit $a^2 = \dfrac12$. Comme $a > 0$, $a = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

$\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}.$

5.2 Démonstration pour $\pi/3$

Soit $M$ l'image de $\dfrac{\pi}{3}$. On a $OI = OM = 1$ : le triangle $OIM$ est isocèle en $O$, et son angle en $O$ mesure $60^\circ$. Ses deux autres angles mesurent donc aussi $60^\circ$ : il est équilatéral.

Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $M$. Dans un triangle équilatéral, cette hauteur est aussi une médiane : $H$ est le milieu de $[OI]$, donc $OH = \dfrac12$. Ainsi, $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$.

Dans le triangle $OHM$ rectangle en $H$, le théorème de Pythagore donne $HM^2 = 1 - \dfrac14 = \dfrac34$. Comme $HM > 0$, $HM = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac12 \qquad\text{et}\qquad \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}.$

5.3 Et $\pi/6$ ?

Dans le même triangle $OHM$, l'angle en $M$ mesure $30^\circ$, soit $\dfrac{\pi}{6}$ radian. Pour cet angle, le côté opposé est $OH$ et le côté adjacent est $HM$ : $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{OH}{OM} = \frac12 \qquad\text{et}\qquad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{HM}{OM} = \frac{\sqrt3}{2}.$

5.4 Le tableau à connaître

Automatisme. Pour retrouver le tableau : le sinus vaut $\dfrac{\sqrt0}{2}$, $\dfrac{\sqrt1}{2}$, $\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\dfrac{\sqrt4}{2}$, et le cosinus prend les mêmes valeurs dans l'ordre inverse.

5.5 Utiliser les valeurs

Exemple 12 (le téléphérique). Une cabine parcourt $600$ mètres sur un câble tendu en ligne droite, incliné de $\dfrac{\pi}{6}$ par rapport à l'horizontale. Elle s'élève de $h = 600 \times \sin\frac{\pi}{6} = 600 \times \frac12 = 300 \text{ mètres},$ et elle avance à l'horizontale de $d = 600 \times \cos\frac{\pi}{6} = 600 \times \frac{\sqrt3}{2} = 300\sqrt3 \text{ mètres}.$ Avec $\sqrt3 \approx 1{,}73$, on a $d \approx 519$ mètres.