Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangle

1.1 Les trois côtés

Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu, noté $\alpha$.

• L'hypoténuse est le côté en face de l'angle droit. C'est le plus long côté.
• Le côté adjacent à $\alpha$ est le côté qui touche $\alpha$ et qui n'est pas l'hypoténuse.
• Le côté opposé à $\alpha$ est le côté en face de $\alpha$.

Si l'on change d'angle aigu, le côté adjacent et le côté opposé s'échangent. L'hypoténuse ne change pas.

1.2 Trois quotients

$\cos\alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin\alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan\alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.$

Ces quotients ne dépendent que de l'angle $\alpha$ : deux triangles rectangles qui ont le même angle $\alpha$ sont des agrandissements l'un de l'autre. Comme l'hypoténuse est le plus long côté, on a $0 < \cos\alpha < 1$ et $0 < \sin\alpha < 1$ pour un angle aigu.

Exemple 1. Un triangle a pour côtés $3$, $4$ et $5$. On a $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle. Pour l'angle $\alpha$ placé entre les côtés $4$ et $5$ : $\cos\alpha = \frac45, \qquad \sin\alpha = \frac35, \qquad \tan\alpha = \frac34.$

Automatisme. Dans un triangle rectangle, on nomme d'abord les trois côtés par rapport à l'angle, puis on écrit le quotient.

1.3 Calculer une longueur

On repère ce que l'on connait et ce que l'on cherche, puis on choisit le quotient qui les relie.

Exemple 2 (le clocher). À $40$ mètres du pied d'un clocher, la visée du sommet fait un angle de $35^\circ$ avec le sol. On suppose l'œil au niveau du sol. On connait le côté adjacent et on cherche le côté opposé $h$ : on utilise la tangente. $\tan 35^\circ = \frac{h}{40}, \quad\text{donc}\quad h = 40 \times \tan 35^\circ.$ On donne $\tan 35^\circ \approx 0{,}7$. Ainsi, $h \approx 40 \times 0{,}7 = 28$ : le clocher mesure environ $28$ mètres.

1.4 Une relation utile

Soit $a$ le côté adjacent, $b$ le côté opposé et $c$ l'hypoténuse. On écrit $\cos^2\alpha$ pour $(\cos\alpha)^2$, et $\sin^2\alpha$ pour $(\sin\alpha)^2$. Alors $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1,$ puisque $a^2 + b^2 = c^2$ d'après le théorème de Pythagore.

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1.$

Sur l'exemple 1 : $\dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$.

De plus, en divisant le sinus par le cosinus, l'hypoténuse disparait : $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Exemple 3. Pour un angle aigu tel que $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$ : $\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}.$ Comme $\sin\alpha > 0$, on a $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$. Alors $\tan\alpha = \dfrac{12}{13} \times \dfrac{13}{5} = \dfrac{12}{5}$.

1.5 Une limite

Ces définitions n'existent que pour un angle aigu d'un triangle rectangle. Aucun triangle rectangle ne donne $\cos 120^\circ$ ni $\sin(-1)$. Pour aller plus loin, on passe au cercle.