Dérivée de l'inverse et du quotient

6.1 Inverse d'une fonction

Propriété. Si $v$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $\dfrac1v$ est dérivable sur $I$, et $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}.$

Avec $v(x) = x$, on retrouve la dérivée de la fonction inverse.

La justification suit le calcul de la leçon 2. En réduisant au même dénominateur : $\frac{1}{h}\left(\frac{1}{v(a + h)} - \frac{1}{v(a)}\right) = -\frac{v(a + h) - v(a)}{h} \times \frac{1}{v(a)\,v(a + h)}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, ce nombre se rapproche de $-\dfrac{v'(a)}{v(a)^2}$.

Exemple 20. Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Comme $x^2 + 1 \geq 1$, le dénominateur ne s'annule jamais : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $v'(x) = 2x$ : $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.$

Exemple 21. Soit $g(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$. Le dénominateur s'annule en $-\dfrac12$ : on se place sur l'intervalle $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$. Alors $g'(x) = -\frac{2}{(2x + 1)^2}.$

6.2 Quotient

Propriété. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ et si $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$, et $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$

Pour l'obtenir, on écrit $\dfrac{u}{v} = u \times \dfrac1v$ et on applique la formule du produit : $\left(\frac{u}{v}\right)' = u' \times \frac1v + u \times \left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$

Exemple 22. Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $]3\,;+\infty[$. On pose $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x - 3$, $v'(x) = 1$. Alors $f'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = -\frac{7}{(x - 3)^2}.$ Attention au signe moins devant la parenthèse. On laisse le dénominateur sous forme factorisée.

Exemple 23. Soit $g(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ sur $]-1\,;+\infty[$. Alors $g'(x) = \frac{2x(x + 1) - x^2 \times 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}.$

6.3 Les pièges

Attention 1. La dérivée d'un quotient n'est pas le quotient des dérivées. Contre-exemple : $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac1x$ a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$, alors que le quotient des dérivées vaut $\dfrac{1}{2x}$.

Attention 2. L'ordre compte au numérateur : c'est $u'v - uv'$. En échangeant les deux termes, on change le signe du résultat.

6.4 Le coût moyen

Exemple 24 (des figurines). Un atelier fabrique des figurines avec une imprimante 3D. Le coût total, en euros, de $q$ figurines est $C(q) = q^2 + 100$. Le coût moyen d'une figurine est $M(q) = \frac{C(q)}{q} = \frac{q^2 + 100}{q}.$ La formule du quotient donne $M'(q) = \frac{2q \times q - (q^2 + 100) \times 1}{q^2} = \frac{q^2 - 100}{q^2}.$ Vérification : $M(q) = q + \dfrac{100}{q}$, dont la dérivée est $1 - \dfrac{100}{q^2}$, soit la même expression.

Pour $20$ figurines, $M(20) = 25$ euros et $M'(20) = \dfrac34$. Une figurine de plus ajoute environ $0{,}75$ euro au coût moyen.