Fonction inverse

2.1 Deux intervalles

La fonction inverse $f$ est définie par $f(x) = \dfrac1x$ pour tout $x$ non nul, car on ne divise pas par $0$. Sa courbe a deux morceaux, de part et d'autre de l'axe des ordonnées. L'ensemble de définition n'est pas un intervalle : c'est la réunion des deux intervalles $]{-\infty}\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$. On étudie la dérivée sur chacun des deux.

2.2 La propriété

Propriété. La fonction inverse est dérivable sur $]{-\infty}\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, et si $f(x) = \dfrac1x$, alors $f'(x) = -\frac{1}{x^2}.$

Le signe moins fait partie de la formule.

2.3 Démonstration

Automatisme (réduire au même dénominateur). $\dfrac1A - \dfrac1B = \dfrac{B - A}{AB}$ pour $A$ et $B$ non nuls.

Démonstration (à connaître). Soit $a$ un nombre non nul et $h$ un nombre non nul, assez petit pour que $a + h$ soit du même signe que $a$. On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{a + h} - \frac1a = \frac{a - (a + h)}{a(a + h)} = \frac{-h}{a(a + h)}.$ En divisant par $h$, le taux de variation vaut $\dfrac{-1}{a(a + h)}$. Quand $h$ se rapproche de $0$, $a + h$ se rapproche de $a$, donc le dénominateur se rapproche de $a^2$, et le taux se rapproche de $-\dfrac{1}{a^2}$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$, pour tout $a$ non nul. $\blacksquare$

2.4 Ce que dit la formule

Comme $x^2 > 0$, le nombre $-\dfrac{1}{x^2}$ est toujours strictement négatif. Toutes les tangentes descendent, sur les deux morceaux de la courbe. Plus $x$ s'éloigne de $0$, plus la pente est proche de $0$. Mais aucune tangente n'est horizontale, car la dérivée ne s'annule jamais.

Exemple 5. Pour $f(x) = \dfrac1x$ : $f'(1) = -1$, $f'(2) = -\dfrac14$, $f'(-3) = -\dfrac19$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = -4$. On retrouve $f'(2) = -\dfrac14$, calculé au chapitre 5.

2.5 Deux tangentes parallèles

Exemple 6. Au point d'abscisse $\dfrac12$, on a $f\!\left(\dfrac12\right) = 2$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = -4$. La tangente a pour équation $y = 2 - 4\left(x - \dfrac12\right)$, soit $y = -4x + 4$.

Au point d'abscisse $-\dfrac12$, on a $f\!\left(-\dfrac12\right) = -2$ et $f'\!\left(-\dfrac12\right) = -4$. La tangente a pour équation $y = -4x - 4$.

Ces deux droites ont le même coefficient directeur : elles sont parallèles.

2.6 Le rectangle d'un mètre carré

Exemple 7. Un rectangle a une aire de $1$ mètre carré. Si sa largeur vaut $x$ mètres, sa longueur vaut $f(x) = \dfrac1x$ mètre. Pour $x = 2$, la longueur vaut $0{,}5$ mètre et $f'(2) = -\dfrac14$. Avec l'approximation linéaire, pour une largeur de $2{,}1$ mètres : $f(2{,}1) \approx 0{,}5 - \frac14 \times 0{,}1 = 0{,}475.$ Avec $10$ centimètres de plus en largeur, la longueur perd environ $2{,}5$ centimètres.