Fonction dérivée, fonctions carré et cube

1.1 Du nombre dérivé à la fonction dérivée

Pour la fonction carré $f(x) = x^2$, le chapitre 5 a donné ces trois nombres dérivés.

À chaque fois, $f'(a)$ est le double de $a$. Si c'est vrai pour tout nombre $a$, il n'y a plus besoin de refaire le calcul à chaque point.

1.2 Définitions

Dérivable en $a$. Une fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si, quand $h$ se rapproche de $0$, le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ se rapproche d'un nombre. Ce nombre est le nombre dérivé $f'(a)$.

Dérivable sur un intervalle. La fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout nombre de $I$.

Fonction dérivée. Si $f$ est dérivable sur $I$, la fonction qui, à tout $x$ de $I$, associe le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$. On la note $f'$.

Le statut des écritures est important.

• $f'(3)$ est un nombre : le nombre dérivé de $f$ en $3$.
• $f'$ est une fonction.
• $f'(x)$ est l'expression de cette fonction : $x$ est une variable.

1.3 Fonctions constantes et fonctions affines

Si $f(x) = k$, où $k$ est un nombre fixé, le taux de variation vaut toujours $0$. Si $f(x) = mx + p$, il vaut toujours $m$ (chapitre 5).

Propriété. Les fonctions constantes et les fonctions affines sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

• Si $f(x) = k$, alors $f'(x) = 0$.
• Si $f(x) = mx + p$, alors $f'(x) = m$.

1.4 La fonction carré

Propriété. La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$, et si $f(x) = x^2$, alors $f'(x) = 2x$.

Démonstration (à connaître). Soit $a$ un nombre réel quelconque et $h$ un nombre non nul. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ vaut $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $2a + h$ se rapproche de $2a$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 2a$. Ce calcul est valable pour tout réel $a$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2x$. $\blacksquare$

Exemple 1. Pour $f(x) = x^2$ : $f'(5) = 10$, $f'(-3) = -6$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = 1$. La tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 9 + 6(x - 3)$, soit $y = 6x - 9$ : on retrouve le résultat du chapitre 5, sans calculer de taux.

Exemple 2. En quel point de la parabole la tangente a-t-elle pour coefficient directeur $8$ ? On résout $2x = 8$, soit $x = 4$. C'est le point $(4\,;16)$.

Sur le graphique. Quand un point parcourt la parabole de gauche à droite, sa tangente descend pour $x < 0$, elle est horizontale en $0$, puis elle monte de plus en plus fort pour $x > 0$. Si l'on place, pour chaque $x$, la pente de la tangente, on obtient la droite d'équation $y = 2x$ : c'est la courbe de la fonction dérivée. La vidéo montre ce mouvement.

1.5 Une image de la formule

Prenons un carré de côté $x$ et allongeons ce côté de $h$. L'aire gagne deux bandes d'aire $xh$ et un petit carré d'aire $h^2$. Elle augmente donc de $2xh + h^2$. Divisée par $h$, cette augmentation vaut $2x + h$, qui se rapproche de $2x$. La dérivée de l'aire par rapport au côté est bien $2x$.

1.6 La fonction cube

Automatisme (développer). $(a + h)^3 = (a + h)^2(a + h) = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$.

Propriété. La fonction cube est dérivable sur $\mathbb{R}$, et si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^2$.

En effet, pour tout réel $a$ et pour $h \neq 0$ : $\frac{(a + h)^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, ce taux se rapproche de $3a^2$.

Exemple 3. Pour $f(x) = x^3$ : $f'(2) = 12$, $f'(-2) = 12$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = \dfrac34$.

Exemple 4 (une tangente). Au point d'abscisse $2$ de la courbe de la fonction cube : $f(2) = 8$ et $f'(2) = 12$. La tangente a pour équation $y = 8 + 12(x - 2)$, soit $y = 12x - 16$.