Fonction dérivée

Leçon 1 : Fonction dérivée, fonctions carré et cube

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1.1 Du nombre dérivé à la fonction dérivée

Pour la fonction carré $f(x) = x^2$, le chapitre 5 a donné ces trois nombres dérivés.

À chaque fois, $f'(a)$ est le double de $a$. Si c'est vrai pour tout nombre $a$, il n'y a plus besoin de refaire le calcul à chaque point.

1.2 Définitions

Dérivable en $a$. Une fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si, quand $h$ se rapproche de $0$, le taux de variation $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ se rapproche d'un nombre. Ce nombre est le nombre dérivé $f'(a)$.

Dérivable sur un intervalle. La fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout nombre de $I$.

Fonction dérivée. Si $f$ est dérivable sur $I$, la fonction qui, à tout $x$ de $I$, associe le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$. On la note $f'$.

Le statut des écritures est important.

• $f'(3)$ est un nombre : le nombre dérivé de $f$ en $3$.
• $f'$ est une fonction.
• $f'(x)$ est l'expression de cette fonction : $x$ est une variable.

1.3 Fonctions constantes et fonctions affines

Si $f(x) = k$, où $k$ est un nombre fixé, le taux de variation vaut toujours $0$. Si $f(x) = mx + p$, il vaut toujours $m$ (chapitre 5).

Propriété. Les fonctions constantes et les fonctions affines sont dérivables sur $\mathbb{R}$.

• Si $f(x) = k$, alors $f'(x) = 0$.
• Si $f(x) = mx + p$, alors $f'(x) = m$.

1.4 La fonction carré

Propriété. La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$, et si $f(x) = x^2$, alors $f'(x) = 2x$.

Démonstration (à connaître). Soit $a$ un nombre réel quelconque et $h$ un nombre non nul. Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ vaut $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $2a + h$ se rapproche de $2a$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = 2a$. Ce calcul est valable pour tout réel $a$, donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = 2x$. $\blacksquare$

Exemple 1. Pour $f(x) = x^2$ : $f'(5) = 10$, $f'(-3) = -6$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = 1$. La tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 9 + 6(x - 3)$, soit $y = 6x - 9$ : on retrouve le résultat du chapitre 5, sans calculer de taux.

Exemple 2. En quel point de la parabole la tangente a-t-elle pour coefficient directeur $8$ ? On résout $2x = 8$, soit $x = 4$. C'est le point $(4\,;16)$.

Sur le graphique. Quand un point parcourt la parabole de gauche à droite, sa tangente descend pour $x < 0$, elle est horizontale en $0$, puis elle monte de plus en plus fort pour $x > 0$. Si l'on place, pour chaque $x$, la pente de la tangente, on obtient la droite d'équation $y = 2x$ : c'est la courbe de la fonction dérivée. La vidéo montre ce mouvement.

1.5 Une image de la formule

Prenons un carré de côté $x$ et allongeons ce côté de $h$. L'aire gagne deux bandes d'aire $xh$ et un petit carré d'aire $h^2$. Elle augmente donc de $2xh + h^2$. Divisée par $h$, cette augmentation vaut $2x + h$, qui se rapproche de $2x$. La dérivée de l'aire par rapport au côté est bien $2x$.

1.6 La fonction cube

Automatisme (développer). $(a + h)^3 = (a + h)^2(a + h) = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$.

Propriété. La fonction cube est dérivable sur $\mathbb{R}$, et si $f(x) = x^3$, alors $f'(x) = 3x^2$.

En effet, pour tout réel $a$ et pour $h \neq 0$ : $\frac{(a + h)^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, ce taux se rapproche de $3a^2$.

Exemple 3. Pour $f(x) = x^3$ : $f'(2) = 12$, $f'(-2) = 12$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = \dfrac34$.

Exemple 4 (une tangente). Au point d'abscisse $2$ de la courbe de la fonction cube : $f(2) = 8$ et $f'(2) = 12$. La tangente a pour équation $y = 8 + 12(x - 2)$, soit $y = 12x - 16$.

Leçon 2 : Fonction inverse

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2.1 Deux intervalles

La fonction inverse $f$ est définie par $f(x) = \dfrac1x$ pour tout $x$ non nul, car on ne divise pas par $0$. Sa courbe a deux morceaux, de part et d'autre de l'axe des ordonnées. L'ensemble de définition n'est pas un intervalle : c'est la réunion des deux intervalles $]{-\infty}\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$. On étudie la dérivée sur chacun des deux.

2.2 La propriété

Propriété. La fonction inverse est dérivable sur $]{-\infty}\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, et si $f(x) = \dfrac1x$, alors $f'(x) = -\frac{1}{x^2}.$

Le signe moins fait partie de la formule.

2.3 Démonstration

Automatisme (réduire au même dénominateur). $\dfrac1A - \dfrac1B = \dfrac{B - A}{AB}$ pour $A$ et $B$ non nuls.

Démonstration (à connaître). Soit $a$ un nombre non nul et $h$ un nombre non nul, assez petit pour que $a + h$ soit du même signe que $a$. On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{a + h} - \frac1a = \frac{a - (a + h)}{a(a + h)} = \frac{-h}{a(a + h)}.$ En divisant par $h$, le taux de variation vaut $\dfrac{-1}{a(a + h)}$. Quand $h$ se rapproche de $0$, $a + h$ se rapproche de $a$, donc le dénominateur se rapproche de $a^2$, et le taux se rapproche de $-\dfrac{1}{a^2}$. Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = -\dfrac{1}{a^2}$, pour tout $a$ non nul. $\blacksquare$

2.4 Ce que dit la formule

Comme $x^2 > 0$, le nombre $-\dfrac{1}{x^2}$ est toujours strictement négatif. Toutes les tangentes descendent, sur les deux morceaux de la courbe. Plus $x$ s'éloigne de $0$, plus la pente est proche de $0$. Mais aucune tangente n'est horizontale, car la dérivée ne s'annule jamais.

Exemple 5. Pour $f(x) = \dfrac1x$ : $f'(1) = -1$, $f'(2) = -\dfrac14$, $f'(-3) = -\dfrac19$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = -4$. On retrouve $f'(2) = -\dfrac14$, calculé au chapitre 5.

2.5 Deux tangentes parallèles

Exemple 6. Au point d'abscisse $\dfrac12$, on a $f\!\left(\dfrac12\right) = 2$ et $f'\!\left(\dfrac12\right) = -4$. La tangente a pour équation $y = 2 - 4\left(x - \dfrac12\right)$, soit $y = -4x + 4$.

Au point d'abscisse $-\dfrac12$, on a $f\!\left(-\dfrac12\right) = -2$ et $f'\!\left(-\dfrac12\right) = -4$. La tangente a pour équation $y = -4x - 4$.

Ces deux droites ont le même coefficient directeur : elles sont parallèles.

2.6 Le rectangle d'un mètre carré

Exemple 7. Un rectangle a une aire de $1$ mètre carré. Si sa largeur vaut $x$ mètres, sa longueur vaut $f(x) = \dfrac1x$ mètre. Pour $x = 2$, la longueur vaut $0{,}5$ mètre et $f'(2) = -\dfrac14$. Avec l'approximation linéaire, pour une largeur de $2{,}1$ mètres : $f(2{,}1) \approx 0{,}5 - \frac14 \times 0{,}1 = 0{,}475.$ Avec $10$ centimètres de plus en largeur, la longueur perd environ $2{,}5$ centimètres.

Leçon 3 : Fonction racine carrée

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3.1 La fonction racine carrée

Pour $x \geq 0$, la racine carrée de $x$, notée $\sqrt{x}$, est le nombre positif dont le carré vaut $x$. Par exemple, $\sqrt9 = 3$, car $3^2 = 9$ et $3 \geq 0$.

La fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$. On ne définit pas la racine carrée d'un nombre négatif.

Sa courbe part de l'origine et passe par les points $(1\,;1)$, $(4\,;2)$ et $(9\,;3)$.

Automatisme (racines carrées). Pour $x \geq 0$ : $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ et $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$. Par exemple, $\sqrt{0{,}01} = 0{,}1$, $\sqrt{\dfrac14} = \dfrac12$.

3.2 Sa dérivée

Propriété. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, et si $f(x) = \sqrt{x}$, alors $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Attention : $0$ est exclu, alors que la fonction y est définie. La suite explique pourquoi.

Exemple 8. $f'(1) = \dfrac12$, $f'(4) = \dfrac14$, $f'(9) = \dfrac16$ et $f'(100) = \dfrac{1}{20}$. On retrouve la valeur $f'(1) = 0{,}5$, observée au chapitre 5 sur des tableaux de valeurs.

3.3 D'où vient la formule

Soit $a > 0$ et $h$ non nul, assez petit pour que $a + h$ soit positif. D'après l'identité $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ : $\left(\sqrt{a + h} - \sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) = (a + h) - a = h.$ Le taux de variation vaut donc $\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $\sqrt{a + h}$ se rapproche de $\sqrt{a}$, et le taux se rapproche de $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$.

3.4 Deux utilisations

Exemple 9 (une tangente et une valeur approchée). Au point d'abscisse $4$ : $f(4) = 2$ et $f'(4) = \dfrac14$. La tangente a pour équation $y = 2 + \dfrac14(x - 4)$, soit $y = \dfrac14x + 1$. On en déduit $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \dfrac14 \times 0{,}1 = 2{,}025$.

Exemple 10 (une pelouse carrée). Une pelouse carrée d'aire $A$, en mètres carrés, a pour côté $c(A) = \sqrt{A}$, en mètres. Pour $A = 100$, le côté mesure $10$ mètres et $c'(100) = \frac{1}{2\sqrt{100}} = \frac{1}{20} = 0{,}05.$ L'unité est le mètre par mètre carré. Chaque mètre carré de plus allonge le côté d'environ $5$ centimètres. Pour $102$ mètres carrés : $c(102) \approx 10 + 0{,}05 \times 2 = 10{,}1$ mètres.

3.5 Pas dérivable en $0$

Propriété. La fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$.

Démonstration (à connaître). La fonction n'est pas définie à gauche de $0$ : on prend $h > 0$. Le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h} \times \sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{h}}.$

Quand $h$ se rapproche de $0$, $\sqrt{h}$ se rapproche de $0$ et $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand qu'on veut. Le taux ne se rapproche d'aucun nombre : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$. $\blacksquare$

3.6 Sur la courbe

Quand le point $M$ de la courbe glisse vers l'origine, la sécante $(OM)$ se redresse, et elle se rapproche de l'axe des ordonnées : la courbe part à la verticale. Or une droite verticale n'a pas de coefficient directeur. Il n'y a donc pas de nombre dérivé en $0$, alors que la fonction y est bien définie.

À retenir : une fonction peut être définie en un point sans y être dérivable.

Leçon 4 : Fonction valeur absolue

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4.1 Définition

La valeur absolue d'un nombre $x$, notée $\lvert x \rvert$, est sa distance à $0$ sur la droite graduée. Une distance n'est jamais négative. On distingue deux cas : $\lvert x \rvert = x \text{ si } x \geq 0, \qquad \lvert x \rvert = -x \text{ si } x \leq 0.$

Attention : quand $x$ est négatif, $-x$ est positif.

Exemple 11. $\lvert 3 \rvert = 3$, $\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5$, $\lvert 0 \rvert = 0$ et $\lvert 2 - 7 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5$.

4.2 La courbe

La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$. On trace sa courbe cas par cas. Pour $x \geq 0$, c'est la demi-droite d'équation $y = x$, qui monte depuis l'origine. Pour $x \leq 0$, c'est la demi-droite d'équation $y = -x$, qui descend jusqu'à l'origine. La courbe a la forme d'un V, avec une pointe à l'origine.

4.3 Hors de zéro

Sur $]0\,;+\infty[$, on a $f(x) = x$ : la fonction est dérivable et $f'(x) = 1$.

Sur $]{-\infty}\,;0[$, on a $f(x) = -x$ : la fonction est dérivable et $f'(x) = -1$.

4.4 En zéro : deux cas

Propriété. La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en $0$.

On raisonne par disjonction des cas. Pour $h \neq 0$, le taux de variation entre $0$ et $h$ vaut $\frac{\lvert h \rvert - \lvert 0 \rvert}{h} = \frac{\lvert h \rvert}{h}.$

• Si $h > 0$, alors $\lvert h \rvert = h$, et le taux vaut $\dfrac{h}{h} = 1$.
• Si $h < 0$, alors $\lvert h \rvert = -h$, et le taux vaut $\dfrac{-h}{h} = -1$.

Quand $h$ se rapproche de $0$, le taux vaut $1$ d'un côté et $-1$ de l'autre : il ne se rapproche pas d'un seul nombre. La fonction n'est donc pas dérivable en $0$.

Sur la courbe, les sécantes passant par l'origine ont pour pente $1$ à droite et $-1$ à gauche. Elles ne se rapprochent pas d'une même droite : il n'y a pas de tangente à l'origine. Une pointe sur une courbe signale un point où la fonction n'est pas dérivable.

4.5 Un contre-exemple utile

La proposition « toute fonction définie sur un intervalle y est dérivable » est fausse. Elle parle de toutes les fonctions : un seul contre-exemple suffit. La fonction valeur absolue est définie sur $\mathbb{R}$, et elle n'est pas dérivable en $0$.

« $f$ est dérivable sur $I$ » signifie : $f$ est dérivable en tout nombre de $I$. La négation est donc : il existe au moins un nombre de $I$ en lequel $f$ n'est pas dérivable. Un seul point suffit.

4.6 Une situation

Exemple 12 (un train). Un train roule à $30$ mètres par seconde sur une voie droite et passe devant une gare à l'instant $t = 0$, sans s'arrêter. Sa distance à la gare, en mètres, est $d(t) = 30\,\lvert t \rvert$, où $t$ est en secondes.

Pour $t < 0$, la distance s'écrit $-30t$ : elle diminue de $30$ mètres par seconde. Pour $t > 0$, elle s'écrit $30t$ : elle augmente de $30$ mètres par seconde. En $t = 0$, le taux de variation vaut $30$ d'un côté et $-30$ de l'autre : il n'y a pas de nombre dérivé pour cette distance, alors que la vitesse du train, elle, n'a pas changé.

Leçon 5 : Dérivée d'une somme et d'un produit

Voir la vidéo de la leçon 5

Dans toute cette leçon, $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.

5.1 Somme

Propriété. La fonction $u + v$ est dérivable sur $I$, et $(u + v)' = u' + v'$.

En effet, le taux de variation de la somme est la somme des deux taux : $\frac{(u + v)(a + h) - (u + v)(a)}{h} = \frac{u(a + h) - u(a)}{h} + \frac{v(a + h) - v(a)}{h}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, il se rapproche de $u'(a) + v'(a)$.

5.2 Produit par un nombre

Propriété. Si $k$ est un nombre fixé, la fonction $ku$ est dérivable sur $I$, et $(ku)' = k\,u'$.

Le taux de variation est simplement multiplié par $k$.

Exemple 13. $(5x^2)' = 5 \times 2x = 10x$. Et pour $x > 0$, $\left(\dfrac{7}{x}\right)' = 7 \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = -\dfrac{7}{x^2}$.

Exemple 14 (une trottinette). Pour un trajet de $6$ kilomètres à la vitesse $v$, en kilomètres par heure, la durée en minutes est $t(v) = \dfrac{360}{v}$. On a $t(20) = 18$ et $t'(v) = -\dfrac{360}{v^2}$, donc $t'(20) = -0{,}9$. À $20$ kilomètres par heure, un kilomètre par heure de plus fait gagner environ $0{,}9$ minute.

5.3 Polynômes

Ces deux règles permettent de dériver un polynôme terme à terme.

Exemple 15. Si $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, alors $f'(x) = 6x - 5$. Si $g(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1$, alors $g'(x) = 3x^2 - 4x + 4$.

Second degré. Si $f(x) = ax^2 + bx + c$, alors $f'(x) = 2ax + b$.

Exemple 16 (tangente horizontale). Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$. On a $f'(x) = 2x - 4$. La tangente est horizontale quand $f'(x) = 0$, soit $x = 2$ : c'est le point $(2\,;-3)$. Au point d'abscisse $3$ : $f(3) = -2$ et $f'(3) = 2$, donc la tangente a pour équation $y = 2x - 8$.

5.4 Produit

Imaginons un rectangle de côtés $u$ et $v$, d'aire $u \times v$. Pendant un petit déplacement $h$, le côté $u$ grandit d'environ $u'h$, et le côté $v$ d'environ $v'h$. L'aire gagne une bande $u'h \times v$, une bande $u \times v'h$ et un tout petit coin. Divisée par $h$, cette augmentation se rapproche de $u'v + uv'$.

Propriété. La fonction $uv$ est dérivable sur $I$, et $(uv)' = u'v + uv'$.

Démonstration (à connaître). Soit $a$ dans $I$ et $h$ non nul tel que $a + h$ soit dans $I$. On ajoute et on retire le même terme $u(a)\,v(a + h)$ : $u(a + h)\,v(a + h) - u(a)\,v(a) = \big[u(a + h) - u(a)\big]\,v(a + h) + u(a)\,\big[v(a + h) - v(a)\big].$ En divisant par $h$, le taux de variation de $uv$ vaut $\frac{u(a + h) - u(a)}{h} \times v(a + h) + u(a) \times \frac{v(a + h) - v(a)}{h}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, le premier quotient se rapproche de $u'(a)$ et le second de $v'(a)$. De plus, comme $v(a + h) = v(a) + h \times \frac{v(a + h) - v(a)}{h},$ $v(a + h)$ se rapproche de $v(a)$. Le taux se rapproche donc de $u'(a)\,v(a) + u(a)\,v'(a)$. $\blacksquare$

5.5 Exemples

Exemple 17. Soit $f(x) = (2x + 1)(x^2 - 3)$. On pose $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x^2 - 3$, $v'(x) = 2x$. Alors $f'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x + 1) \times 2x = 6x^2 + 2x - 6.$ Vérification : $f(x) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3$, dont la dérivée est bien $6x^2 + 2x - 6$.

Exemple 18. Soit $f(x) = x\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sqrt{x}$ : $f'(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac32\sqrt{x},$ car $\dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x} \times \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{2}$.

Exemple 19 (un carré). Soit $f(x) = (3x - 2)^2 = (3x - 2)(3x - 2)$. Avec $u = v$ et $u'(x) = 3$ : $f'(x) = 3(3x - 2) + (3x - 2) \times 3 = 18x - 12.$ Vérification : $f(x) = 9x^2 - 12x + 4$, dont la dérivée est bien $18x - 12$.

5.6 Le piège

Attention. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Contre-exemple : avec $u(x) = x$ et $v(x) = x$, le produit vaut $x^2$, de dérivée $2x$, alors que $u'(x)\,v'(x) = 1 \times 1 = 1$.

Leçon 6 : Dérivée de l'inverse et du quotient

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Inverse d'une fonction

Propriété. Si $v$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $\dfrac1v$ est dérivable sur $I$, et $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2}.$

Avec $v(x) = x$, on retrouve la dérivée de la fonction inverse.

La justification suit le calcul de la leçon 2. En réduisant au même dénominateur : $\frac{1}{h}\left(\frac{1}{v(a + h)} - \frac{1}{v(a)}\right) = -\frac{v(a + h) - v(a)}{h} \times \frac{1}{v(a)\,v(a + h)}.$ Quand $h$ se rapproche de $0$, ce nombre se rapproche de $-\dfrac{v'(a)}{v(a)^2}$.

Exemple 20. Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$. Comme $x^2 + 1 \geq 1$, le dénominateur ne s'annule jamais : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Avec $v'(x) = 2x$ : $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.$

Exemple 21. Soit $g(x) = \dfrac{1}{2x + 1}$. Le dénominateur s'annule en $-\dfrac12$ : on se place sur l'intervalle $\left]-\dfrac12\,;+\infty\right[$. Alors $g'(x) = -\frac{2}{(2x + 1)^2}.$

6.2 Quotient

Propriété. Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ et si $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$, et $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$

Pour l'obtenir, on écrit $\dfrac{u}{v} = u \times \dfrac1v$ et on applique la formule du produit : $\left(\frac{u}{v}\right)' = u' \times \frac1v + u \times \left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$

Exemple 22. Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ sur $]3\,;+\infty[$. On pose $u(x) = 2x + 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = x - 3$, $v'(x) = 1$. Alors $f'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1) \times 1}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = -\frac{7}{(x - 3)^2}.$ Attention au signe moins devant la parenthèse. On laisse le dénominateur sous forme factorisée.

Exemple 23. Soit $g(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ sur $]-1\,;+\infty[$. Alors $g'(x) = \frac{2x(x + 1) - x^2 \times 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}.$

6.3 Les pièges

Attention 1. La dérivée d'un quotient n'est pas le quotient des dérivées. Contre-exemple : $\dfrac{x}{x^2} = \dfrac1x$ a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2}$, alors que le quotient des dérivées vaut $\dfrac{1}{2x}$.

Attention 2. L'ordre compte au numérateur : c'est $u'v - uv'$. En échangeant les deux termes, on change le signe du résultat.

6.4 Le coût moyen

Exemple 24 (des figurines). Un atelier fabrique des figurines avec une imprimante 3D. Le coût total, en euros, de $q$ figurines est $C(q) = q^2 + 100$. Le coût moyen d'une figurine est $M(q) = \frac{C(q)}{q} = \frac{q^2 + 100}{q}.$ La formule du quotient donne $M'(q) = \frac{2q \times q - (q^2 + 100) \times 1}{q^2} = \frac{q^2 - 100}{q^2}.$ Vérification : $M(q) = q + \dfrac{100}{q}$, dont la dérivée est $1 - \dfrac{100}{q^2}$, soit la même expression.

Pour $20$ figurines, $M(20) = 25$ euros et $M'(20) = \dfrac34$. Une figurine de plus ajoute environ $0{,}75$ euro au coût moyen.

Leçon 7 : Puissances entières, calculer une dérivée

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Les puissances

Automatisme (puissances entières relatives). Pour $x \neq 0$ et $n$ entier :

• $x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ ; ainsi $\dfrac1x = x^{-1}$ et $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$ ;
• $x^p \times x^q = x^{p + q}$ et $\dfrac{x^p}{x^q} = x^{p - q}$ ;
• $x^0 = 1$.

7.2 Exposant positif

Avec la formule du produit, on monte marche après marche : $(x^3)' = (x^2 \times x)' = 2x \times x + x^2 \times 1 = 3x^2,$ $(x^4)' = (x^3 \times x)' = 3x^2 \times x + x^3 \times 1 = 4x^3.$ À chaque marche, l'exposant descend devant, et il diminue de $1$. Le procédé continue.

Propriété. Pour tout entier $n \geq 1$, la fonction $x \mapsto x^n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $(x^n)' = n\,x^{n - 1}$.

7.3 Exposant négatif

Pour $x \neq 0$, avec la formule de l'inverse : $\left(x^{-2}\right)' = \left(\frac{1}{x^2}\right)' = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} = -2\,x^{-3}.$ C'est la même formule, avec $n = -2$.

Propriété. Pour tout $n$ dans $\mathbb{Z}$, la dérivée de $x \mapsto x^n$ est $x \mapsto n\,x^{n - 1}$. Si $n \geq 1$, c'est valable sur $\mathbb{R}$. Si $n \leq -1$, c'est valable sur $]{-\infty}\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$. Pour $n = 0$, la fonction est constante, égale à $1$, et sa dérivée est nulle.

Exemple 25. $(x^5)' = 5x^4$ ; $(x^{-3})' = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$ ; $\left(\dfrac{1}{x^5}\right)' = (x^{-5})' = -5x^{-6} = -\dfrac{5}{x^6}$.

7.4 Les deux tableaux à connaître

7.5 La méthode

1. Regarder la forme de l'expression : une somme, un produit, un inverse, un quotient, une puissance ?
2. Se demander si l'on peut simplifier avant de dériver.
3. Écrire $u$, $v$, $u'$ et $v'$, puis appliquer la formule.
4. Réduire le résultat, et préciser l'intervalle.

7.6 Exemples

Exemple 26 (une somme). Soit $f(x) = 2x^4 - \dfrac3x + 5$ sur $]0\,;+\infty[$. On dérive terme à terme : $f'(x) = 8x^3 + \frac{3}{x^2}.$

Exemple 27 (simplifier d'abord). Soit $g(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$. La formule du quotient convient, mais il est plus rapide d'écrire $g(x) = x - x^{-2}$. Alors $g'(x) = 1 + 2x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}.$

Exemple 28 (un produit). Soit $k(x) = (x^2 + 1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$. Alors $k'(x) = 2x\sqrt{x} + \frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}}.$

Exemple 29 (un lampadaire). L'éclairement reçu par une surface placée à la distance $d$ d'une lampe de lampadaire, en mètres, est modélisé par $E(d) = \dfrac{1000}{d^2} = 1000\,d^{-2}$. Alors $E'(d) = -2000\,d^{-3} = -\dfrac{2000}{d^3}$. À $2$ mètres, $E(2) = 250$ et $E'(2) = -250$.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Fonction dérivée : $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout nombre de $I$. La fonction $f'$ associe à $x$ le nombre dérivé $f'(x)$.
2. Fonctions de référence : $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$, $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, et $(x^n)' = n\,x^{n - 1}$ pour $n$ dans $\mathbb{Z}$.
3. Démonstrations à connaître : dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse, d'un produit ; racine carrée non dérivable en $0$.
4. Pas dérivables en $0$ : la racine carrée, car le taux $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ ne se rapproche d'aucun nombre ; la valeur absolue, car le taux vaut $1$ d'un côté et $-1$ de l'autre.
5. Opérations : $(u + v)' = u' + v'$, $(ku)' = k\,u'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\dfrac1v\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
6. Pièges : $(uv)'$ n'est pas $u'v'$, $\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ n'est pas $\dfrac{u'}{v'}$, et $0$ n'appartient pas à l'intervalle pour $\dfrac1x$ et pour la dérivée de $\sqrt{x}$.
7. Méthode : regarder la forme, simplifier si possible, appliquer la formule, préciser l'intervalle.