Espérance, variance et écart type de la loi binomiale

4.1 Le nombre de succès est une somme

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, et le nombre de succès $X$, qui suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$. Pour chaque rang $i$ de $1$ à $n$, on pose $X_i = 1$ si l'épreuve numéro $i$ est un succès, et $X_i = 0$ sinon.

Additionner ces uns et ces zéros revient à compter les succès : $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n.$

Par exemple, pour $n = 5$, l'issue $(S\,;\overline{S}\,;S\,;S\,;\overline{S})$ donne $1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 3$ succès.

4.2 Le théorème

Théorème. Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}.$

Démonstration. On écrit $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ comme ci-dessus. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$. D'après le chapitre 11, $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1 - p)$.

• Espérance. Par linéarité, $E(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = np$.
• Variance. Chaque $X_i$ ne dépend que de l'épreuve numéro $i$, et les épreuves d'un schéma de Bernoulli sont indépendantes : les $X_i$ sont indépendantes. Par additivité, $V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = np(1 - p)$.
• Écart type. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1 - p)}$. $\blacksquare$

L'espérance est très naturelle : sur $n$ essais, avec une proportion $p$ de réussite, on attend $np$ succès.

4.3 Exemples

Exemple 4 (les lancers francs de Maëlle, chapitre 11). Le nombre $X$ de lancers réussis sur trois suit la loi $\mathcal{B}(3\,;0{,}8)$, de loi :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = k)$	$0{,}008$	$0{,}096$	$0{,}384$	$0{,}512$

Les formules donnent $E(X) = 3 \times 0{,}8 = 2{,}4$ et $V(X) = 3 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}48$. Le calcul direct donne le même résultat : $1 \times 0{,}096 + 2 \times 0{,}384 + 3 \times 0{,}512 = 2{,}4$, et $1 \times 0{,}096 + 4 \times 0{,}384 + 9 \times 0{,}512 - 2{,}4^2 = 6{,}24 - 5{,}76 = 0{,}48$.

Exemple 5 (un élevage de poules). Dans un élevage de $120$ poules, chacune pond un œuf dans la journée avec la probabilité $0{,}75$, indépendamment des autres. Le nombre $X$ de poules qui pondent suit la loi $\mathcal{B}(120\,;0{,}75)$. Donc $E(X) = 120 \times 0{,}75 = 90$, $V(X) = 90 \times 0{,}25 = 22{,}5$ et $\sigma(X) = \sqrt{22{,}5} \approx 4{,}74$.

4.4 Remarques

• Le nombre d'échecs. $n - X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, 1 - p)$ (chapitre 11). Son espérance vaut $n(1 - p)$ et sa variance est la même que celle de $X$, ce qu'annonce aussi la formule $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ avec $a = -1$.
• Pour $n$ fixé, la variance $np(1 - p)$ est la plus grande pour $p = \frac12$ : elle vaut alors $\frac{n}{4}$. Elle est faible quand le succès est très rare ou très fréquent.