Espérance et variance de aX + b

2.1 Un exemple

Exemple 3 (les bougies de Nadia). Nadia fabrique des bougies et les vend chaque samedi sur un marché. Le nombre $X$ de bougies vendues suit la loi suivante.

$x$	$10$	$20$	$30$
$P(X = x)$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}3$

On trouve $E(X) = 10 \times 0{,}2 + 20 \times 0{,}5 + 30 \times 0{,}3 = 21$, puis $V(X) = 0{,}2 \times (-11)^2 + 0{,}5 \times (-1)^2 + 0{,}3 \times 9^2 = 49$, et $\sigma(X) = 7$. Chaque bougie rapporte $6$ euros et l'emplacement coûte $45$ euros : le bénéfice du samedi est $B = 6X - 45$.

2.2 Espérance de aX + b

Une constante $b$ est une variable qui ne prend qu'une seule valeur : son espérance vaut $b$. Par linéarité :

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.

Exemple 3 (suite). $E(B) = 6 \times 21 - 45 = 81$ : le bénéfice moyen est de $81$ euros.

2.3 Variance et écart type de aX + b

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ : $V(aX + b) = a^2\,V(X) \qquad \text{et} \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X).$ En particulier, $V(aX) = a^2\,V(X)$.

Démonstration. Soit $Y = aX + b$. Ses valeurs sont les $y_i = a\,x_i + b$, avec les mêmes probabilités $p_i$, et $E(Y) = a\,E(X) + b$. Donc $y_i - E(Y) = (a\,x_i + b) - \big(a\,E(X) + b\big) = a\big(x_i - E(X)\big).$ La constante $b$ a disparu. En élevant au carré : $V(Y) = \sum_i p_i\,a^2\big(x_i - E(X)\big)^2 = a^2 \sum_i p_i\big(x_i - E(X)\big)^2 = a^2\,V(X).$ Enfin, $\sigma(Y) = \sqrt{a^2\,V(X)} = |a|\,\sqrt{V(X)} = |a|\,\sigma(X)$. $\blacksquare$

Exemple 3 (suite). $V(B) = 6^2 \times 49 = 1\,764$ et $\sigma(B) = 6 \times 7 = 42$ euros. On peut le vérifier directement : $B$ prend les valeurs $15$, $75$ et $135$ avec les probabilités $0{,}2$ ; $0{,}5$ et $0{,}3$, d'où $E(B) = 81$ et $V(B) = 0{,}2 \times 66^2 + 0{,}5 \times 6^2 + 0{,}3 \times 54^2 = 1\,764$.

2.4 Déplacer ou étaler

• Ajouter une constante déplace le diagramme de la loi sans le déformer : l'espérance change, pas l'écart type. Par exemple, $X + 30$ a pour espérance $51$ et pour écart type $7$.
• Multiplier par un nombre étale le diagramme : les écarts à l'espérance sont multipliés. Par exemple, $2X$ a pour espérance $42$ et pour écart type $14$.

2.5 Deux pièges

• La variance n'est pas linéaire. $V(2X) = 4\,V(X)$, et non $2\,V(X)$. De plus, $V(X + b) = V(X)$.
• Le nombre $a$ peut être négatif. La variance reste positive ou nulle, grâce au carré, et l'écart type fait intervenir $|a|$.

Exemple 3 (suite). Nadia apporte $40$ bougies. Il lui en reste $R = 40 - X$ le soir, soit $a = -1$ et $b = 40$. Alors $E(R) = 40 - 21 = 19$, $V(R) = (-1)^2 \times 49 = 49$ et $\sigma(R) = 7$.