Sommes de variables aléatoires

Leçon 1 : Somme de deux variables aléatoires, linéarité de l'espérance

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1.1 Rappels de Première

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi donne les probabilités $p_i = P(X = x_i)$ de ses valeurs $x_1, \ldots, x_m$.

• Espérance : $E(X) = \displaystyle\sum_i p_i\,x_i$. C'est la moyenne des valeurs, pondérée par les probabilités.
• Variance : $V(X) = \displaystyle\sum_i p_i\,\big(x_i - E(X)\big)^2$. C'est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance.
• Écart type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il mesure la dispersion de $X$ autour de $E(X)$, dans la même unité que $X$.

1.2 Somme de deux variables : un exemple

Exemple 1 (deux roues de loterie). Au marché de Noël, un stand propose deux roues. La première fait gagner $0$, $2$ ou $4$ euros, la seconde $0$ ou $5$ euros. On note $X$ le gain à la première roue, $Y$ le gain à la seconde, et $S = X + Y$ le gain total.

$x$	$0$	$2$	$4$
$P(X = x)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

$y$	$0$	$5$
$P(Y = y)$	$0{,}8$	$0{,}2$

Les deux roues tournent séparément : ce sont deux épreuves indépendantes (chapitre 11), et la probabilité d'une issue est le produit des probabilités. Le tableau suivant donne, pour chaque issue, la valeur de $S$ et sa probabilité.

	$y = 0$	$y = 5$
$x = 0$	$S = 0$ ; $0{,}4$	$S = 5$ ; $0{,}1$
$x = 2$	$S = 2$ ; $0{,}24$	$S = 7$ ; $0{,}06$
$x = 4$	$S = 4$ ; $0{,}16$	$S = 9$ ; $0{,}04$

On en déduit la loi de $S$ :

$s$	$0$	$2$	$4$	$5$	$7$	$9$
$P(S = s)$	$0{,}4$	$0{,}24$	$0{,}16$	$0{,}1$	$0{,}06$	$0{,}04$

Calculons trois espérances :

• à partir de la loi de $S$ : $E(S) = 0 \times 0{,}4 + 2 \times 0{,}24 + 4 \times 0{,}16 + 5 \times 0{,}1 + 7 \times 0{,}06 + 9 \times 0{,}04 = 2{,}4$ ;
• $E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = 1{,}4$ ;
• $E(Y) = 0 \times 0{,}8 + 5 \times 0{,}2 = 1$.

On constate que $E(S) = E(X) + E(Y)$.

1.3 Pourquoi l'espérance d'une somme est la somme des espérances

On écrit l'espérance comme une moyenne pondérée sur l'ensemble des issues : c'est le même calcul, avant de regrouper les issues qui donnent la même valeur.

$E(S) = \sum_{\text{issues}} P(\text{issue}) \times (x + y) = \sum_{\text{issues}} P(\text{issue}) \times x + \sum_{\text{issues}} P(\text{issue}) \times y.$

Dans l'exemple 1, on regroupe dans la première somme les issues où $X$ prend une même valeur : $0{,}24 \times 2 + 0{,}06 \times 2 + 0{,}16 \times 4 + 0{,}04 \times 4 = 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = E(X).$ De même, dans la seconde somme : $0{,}1 \times 5 + 0{,}06 \times 5 + 0{,}04 \times 5 = 5 \times 0{,}2 = E(Y).$

Ce raisonnement n'utilise pas l'indépendance des deux roues. On admet qu'il se généralise.

Propriété (linéarité de l'espérance). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers, et pour tout réel $a$ : $E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad \text{et} \qquad E(aX) = a\,E(X).$

Pour la seconde égalité, le nombre $a$ se met simplement en facteur : $\sum_i p_i\,(a\,x_i) = a \sum_i p_i\,x_i$.

Remarques.

• La linéarité vaut pour des variables quelconques, indépendantes ou non.
• Elle s'étend à plusieurs variables : $E(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n)$.
• En particulier, $E(X - Y) = E(X) - E(Y)$.

1.4 La force de la linéarité : une espérance sans la loi

Exemple 2 (un camion-restaurant). Dans un camion-restaurant, un client paie un plat, à $9$ ou $12$ euros, et parfois un dessert à $4$ euros. On note $X$ le prix du plat et $Y$ le prix du dessert ($0$ s'il n'en prend pas) :

$x$	$9$	$12$
$P(X = x)$	$0{,}7$	$0{,}3$

$y$	$0$	$4$
$P(Y = y)$	$0{,}4$	$0{,}6$

Les deux choix ne sont pas indépendants, et l'on ne connaît pas la loi du ticket $T = X + Y$. Pourtant, $E(X) = 9 \times 0{,}7 + 12 \times 0{,}3 = 9{,}9$ et $E(Y) = 4 \times 0{,}6 = 2{,}4$, donc, par linéarité, $E(T) = 9{,}9 + 2{,}4 = 12{,}3.$ Le ticket moyen est de $12{,}30$ euros. Pour $80$ clients, on attend une recette de $80 \times 12{,}3 = 984$ euros.

Leçon 2 : Espérance et variance de aX + b

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2.1 Un exemple

Exemple 3 (les bougies de Nadia). Nadia fabrique des bougies et les vend chaque samedi sur un marché. Le nombre $X$ de bougies vendues suit la loi suivante.

$x$	$10$	$20$	$30$
$P(X = x)$	$0{,}2$	$0{,}5$	$0{,}3$

On trouve $E(X) = 10 \times 0{,}2 + 20 \times 0{,}5 + 30 \times 0{,}3 = 21$, puis $V(X) = 0{,}2 \times (-11)^2 + 0{,}5 \times (-1)^2 + 0{,}3 \times 9^2 = 49$, et $\sigma(X) = 7$. Chaque bougie rapporte $6$ euros et l'emplacement coûte $45$ euros : le bénéfice du samedi est $B = 6X - 45$.

2.2 Espérance de aX + b

Une constante $b$ est une variable qui ne prend qu'une seule valeur : son espérance vaut $b$. Par linéarité :

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.

Exemple 3 (suite). $E(B) = 6 \times 21 - 45 = 81$ : le bénéfice moyen est de $81$ euros.

2.3 Variance et écart type de aX + b

Propriété. Pour tous réels $a$ et $b$ : $V(aX + b) = a^2\,V(X) \qquad \text{et} \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X).$ En particulier, $V(aX) = a^2\,V(X)$.

Démonstration. Soit $Y = aX + b$. Ses valeurs sont les $y_i = a\,x_i + b$, avec les mêmes probabilités $p_i$, et $E(Y) = a\,E(X) + b$. Donc $y_i - E(Y) = (a\,x_i + b) - \big(a\,E(X) + b\big) = a\big(x_i - E(X)\big).$ La constante $b$ a disparu. En élevant au carré : $V(Y) = \sum_i p_i\,a^2\big(x_i - E(X)\big)^2 = a^2 \sum_i p_i\big(x_i - E(X)\big)^2 = a^2\,V(X).$ Enfin, $\sigma(Y) = \sqrt{a^2\,V(X)} = |a|\,\sqrt{V(X)} = |a|\,\sigma(X)$. $\blacksquare$

Exemple 3 (suite). $V(B) = 6^2 \times 49 = 1\,764$ et $\sigma(B) = 6 \times 7 = 42$ euros. On peut le vérifier directement : $B$ prend les valeurs $15$, $75$ et $135$ avec les probabilités $0{,}2$ ; $0{,}5$ et $0{,}3$, d'où $E(B) = 81$ et $V(B) = 0{,}2 \times 66^2 + 0{,}5 \times 6^2 + 0{,}3 \times 54^2 = 1\,764$.

2.4 Déplacer ou étaler

• Ajouter une constante déplace le diagramme de la loi sans le déformer : l'espérance change, pas l'écart type. Par exemple, $X + 30$ a pour espérance $51$ et pour écart type $7$.
• Multiplier par un nombre étale le diagramme : les écarts à l'espérance sont multipliés. Par exemple, $2X$ a pour espérance $42$ et pour écart type $14$.

2.5 Deux pièges

• La variance n'est pas linéaire. $V(2X) = 4\,V(X)$, et non $2\,V(X)$. De plus, $V(X + b) = V(X)$.
• Le nombre $a$ peut être négatif. La variance reste positive ou nulle, grâce au carré, et l'écart type fait intervenir $|a|$.

Exemple 3 (suite). Nadia apporte $40$ bougies. Il lui en reste $R = 40 - X$ le soir, soit $a = -1$ et $b = 40$. Alors $E(R) = 40 - 21 = 19$, $V(R) = (-1)^2 \times 49 = 49$ et $\sigma(R) = 7$.

Leçon 3 : Variables indépendantes et variance d'une somme

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Variables indépendantes

Dans ce chapitre, comme dans le programme, les variables indépendantes sont toujours envisagées dans le cadre d'une succession d'épreuves indépendantes (chapitre 11).

Variables indépendantes. Dans une succession d'épreuves indépendantes, si $X$ ne dépend que d'une épreuve et $Y$ seulement d'une autre, on dit que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Connaître la valeur de $X$ n'apprend alors rien sur $Y$ : pour toutes valeurs $x$ et $y$, $P(X = x \text{ et } Y = y) = P(X = x) \times P(Y = y).$

Les gains $X$ et $Y$ des deux roues de l'exemple 1 sont indépendants. L'indépendance fait partie du modèle : on la justifie par la situation, on ne cherche pas à la démontrer.

3.2 L'additivité de la variance

Propriété (admise). Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X + Y) = V(X) + V(Y).$

Contrairement à la linéarité de l'espérance, cette égalité exige l'indépendance.

Exemple 1 (suite). $V(X) = 0{,}5 \times 1{,}4^2 + 0{,}3 \times 0{,}6^2 + 0{,}2 \times 2{,}6^2 = 2{,}44$ et $V(Y) = 0{,}8 \times 1^2 + 0{,}2 \times 4^2 = 4$. Avec la loi de $S$, la formule $V(S) = \sum_i p_i\,s_i^2 - E(S)^2$ donne $V(S) = 12{,}2 - 2{,}4^2 = 6{,}44$. C'est bien $2{,}44 + 4$.

3.3 Écarts types et différences

Ce sont les variances qui s'ajoutent, pas les écarts types. Dans l'exemple 1, $\sigma(S) = \sqrt{6{,}44} \approx 2{,}54$, alors que $\sigma(X) + \sigma(Y) \approx 1{,}56 + 2 = 3{,}56$.

Pour une différence, les variances s'ajoutent encore. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $X$ et $-Y$ le sont aussi, et $V(-Y) = (-1)^2\,V(Y) = V(Y)$. Donc $V(X - Y) = V(X) + V(-Y) = V(X) + V(Y).$

3.4 Sans indépendance

L'additivité peut être fausse si les variables ne sont pas indépendantes.

• Cas extrême. Avec $Y = X$ : $V(X + X) = V(2X) = 4\,V(X)$, et non $2\,V(X)$ (sauf si $V(X) = 0$).

Exemple 2 (suite). On connaît maintenant la répartition des quatre choix possibles au camion-restaurant.

Plat, dessert	$9$ ; $0$	$9$ ; $4$	$12$ ; $0$	$12$ ; $4$
Ticket $T$	$9$	$13$	$12$	$16$
Probabilité	$0{,}3$	$0{,}4$	$0{,}1$	$0{,}2$

Ces probabilités ne sont pas des produits : $P(X = 9 \text{ et } Y = 0) = 0{,}3$, alors que $P(X = 9) \times P(Y = 0) = 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}28$. On retrouve $E(T) = 12{,}3$, comme annoncé par la linéarité. Mais $V(T) = 6{,}21$, alors que $V(X) + V(Y) = 1{,}89 + 3{,}84 = 5{,}73$.

3.5 Plus de deux variables

Si $X_1, X_2, \ldots, X_n$ sont associées à $n$ épreuves indépendantes, chacune à la sienne, elles sont indépendantes (au sens d'une indépendance de toutes les variables entre elles), et $V(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n).$ On l'obtient de proche en proche : $X_1 + \cdots + X_{n-1}$ ne dépend que des $n - 1$ premières épreuves, donc elle est indépendante de $X_n$.

Leçon 4 : Espérance, variance et écart type de la loi binomiale

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4.1 Le nombre de succès est une somme

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, et le nombre de succès $X$, qui suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$. Pour chaque rang $i$ de $1$ à $n$, on pose $X_i = 1$ si l'épreuve numéro $i$ est un succès, et $X_i = 0$ sinon.

Additionner ces uns et ces zéros revient à compter les succès : $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n.$

Par exemple, pour $n = 5$, l'issue $(S\,;\overline{S}\,;S\,;S\,;\overline{S})$ donne $1 + 0 + 1 + 1 + 0 = 3$ succès.

4.2 Le théorème

Théorème. Si $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors $E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}.$

Démonstration. On écrit $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ comme ci-dessus. Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$. D'après le chapitre 11, $E(X_i) = p$ et $V(X_i) = p(1 - p)$.

• Espérance. Par linéarité, $E(X) = E(X_1) + \cdots + E(X_n) = np$.
• Variance. Chaque $X_i$ ne dépend que de l'épreuve numéro $i$, et les épreuves d'un schéma de Bernoulli sont indépendantes : les $X_i$ sont indépendantes. Par additivité, $V(X) = V(X_1) + \cdots + V(X_n) = np(1 - p)$.
• Écart type. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{np(1 - p)}$. $\blacksquare$

L'espérance est très naturelle : sur $n$ essais, avec une proportion $p$ de réussite, on attend $np$ succès.

4.3 Exemples

Exemple 4 (les lancers francs de Maëlle, chapitre 11). Le nombre $X$ de lancers réussis sur trois suit la loi $\mathcal{B}(3\,;0{,}8)$, de loi :

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = k)$	$0{,}008$	$0{,}096$	$0{,}384$	$0{,}512$

Les formules donnent $E(X) = 3 \times 0{,}8 = 2{,}4$ et $V(X) = 3 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}48$. Le calcul direct donne le même résultat : $1 \times 0{,}096 + 2 \times 0{,}384 + 3 \times 0{,}512 = 2{,}4$, et $1 \times 0{,}096 + 4 \times 0{,}384 + 9 \times 0{,}512 - 2{,}4^2 = 6{,}24 - 5{,}76 = 0{,}48$.

Exemple 5 (un élevage de poules). Dans un élevage de $120$ poules, chacune pond un œuf dans la journée avec la probabilité $0{,}75$, indépendamment des autres. Le nombre $X$ de poules qui pondent suit la loi $\mathcal{B}(120\,;0{,}75)$. Donc $E(X) = 120 \times 0{,}75 = 90$, $V(X) = 90 \times 0{,}25 = 22{,}5$ et $\sigma(X) = \sqrt{22{,}5} \approx 4{,}74$.

4.4 Remarques

• Le nombre d'échecs. $n - X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, 1 - p)$ (chapitre 11). Son espérance vaut $n(1 - p)$ et sa variance est la même que celle de $X$, ce qu'annonce aussi la formule $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ avec $a = -1$.
• Pour $n$ fixé, la variance $np(1 - p)$ est la plus grande pour $p = \frac12$ : elle vaut alors $\frac{n}{4}$. Elle est faible quand le succès est très rare ou très fréquent.

Leçon 5 : Échantillon d'une loi, somme et moyenne

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5.1 Échantillon de taille n

Définition. Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ de variables aléatoires indépendantes et identiques, suivant toutes cette loi.

Un échantillon modélise $n$ répétitions indépendantes d'une même expérience. On note $X$ une variable de cette loi, et : $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \qquad \text{et} \qquad M_n = \frac{S_n}{n}.$ $S_n$ est la somme de l'échantillon, $M_n$ sa moyenne.

5.2 La somme

Propriété. $E(S_n) = n\,E(X)$, $\;V(S_n) = n\,V(X)$ et $\sigma(S_n) = \sqrt{n}\;\sigma(X)$.

Justification. Par linéarité, $E(S_n)$ est la somme de $n$ termes égaux à $E(X)$. Les $X_i$ sont indépendantes : par additivité, $V(S_n)$ est la somme de $n$ termes égaux à $V(X)$. Enfin, $\sigma(S_n) = \sqrt{n\,V(X)} = \sqrt{n}\;\sigma(X)$.

Attention. L'écart type est multiplié par $\sqrt{n}$, et non par $n$.

5.3 La moyenne

Propriété. $E(M_n) = E(X)$, $\;V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$ et $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.

Justification. $M_n = \dfrac1n\,S_n$. Avec $a = \dfrac1n$ : $E(M_n) = \frac1n \times n\,E(X) = E(X) \qquad \text{et} \qquad V(M_n) = \frac{1}{n^2} \times n\,V(X) = \frac{V(X)}{n}.$ Enfin, $\sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{V(X)}{n}} = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.

La moyenne a la même espérance que $X$, mais sa dispersion diminue quand $n$ augmente. Le facteur $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ est essentiel : pour diviser l'écart type par $2$, il faut $4$ fois plus de données ; pour le diviser par $10$, il en faut $100$ fois plus.

5.4 Un exemple

Exemple 6 (les notes d'un gîte). La note $X$ laissée par un client d'un gîte suit la loi suivante.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$
$P(X = x)$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$

On trouve $E(X) = 4$ et $V(X) = 0{,}1 \times 2^2 + 0{,}2 \times 1^2 + 0{,}3 \times 0^2 + 0{,}4 \times 1^2 = 1$, donc $\sigma(X) = 1$. Les notes de $n$ clients pris au hasard forment un échantillon de cette loi.

$n$	$E(S_n)$	$V(S_n)$	$\sigma(S_n)$	$E(M_n)$	$V(M_n)$	$\sigma(M_n)$
$25$	$100$	$25$	$5$	$4$	$0{,}04$	$0{,}2$
$100$	$400$	$100$	$10$	$4$	$0{,}01$	$0{,}1$

Une note isolée s'écarte typiquement de $1$ point de l'espérance, une moyenne de cent notes de $0{,}1$ point. Le chapitre 16 précisera ce que cela implique pour les probabilités d'écart.

5.5 Un peu d'histoire

Au début du XIXe siècle, la modélisation des erreurs de mesure devient centrale. Après Legendre (1805), Gauss (1809, 1821) imagine une méthode des moindres carrés, qu'il applique avec succès à la prédiction de la position d'un astéroïde. Il propose de comprendre l'écart type comme une « erreur moyenne à craindre ».

Leçon 6 : Décomposer une variable en somme de variables simples

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6.1 La méthode

1. Repérer ce que la variable compte ou additionne.
2. Écrire $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$, avec des variables simples, souvent des variables qui valent $1$ ou $0$.
3. Espérance : calculer les $E(X_i)$ et les additionner. La linéarité marche toujours, même si les $X_i$ ne sont pas indépendantes.
4. Variance : additionner les $V(X_i)$ seulement si les $X_i$ sont indépendantes.

Une variable qui vaut $1$ ou $0$ suit une loi de Bernoulli : si $P(X_i = 1) = p_i$, alors $E(X_i) = p_i$ et $V(X_i) = p_i(1 - p_i)$.

6.2 Des probabilités différentes

Exemple 7 (trois candidatures). Lou envoie trois candidatures pour un travail d'été, à des employeurs différents. Elle obtient une réponse positive avec les probabilités $0{,}3$, $0{,}5$ et $0{,}6$, indépendamment. Soit $X$ le nombre de réponses positives. Les probabilités diffèrent : $X$ ne suit pas une loi binomiale.

On écrit $X = X_1 + X_2 + X_3$, où $X_i = 1$ si la candidature numéro $i$ aboutit. Alors :

• $E(X) = 0{,}3 + 0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}4$ ;
• les $X_i$ sont indépendantes, donc $V(X) = 0{,}3 \times 0{,}7 + 0{,}5 \times 0{,}5 + 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}21 + 0{,}25 + 0{,}24 = 0{,}7$.

On le vérifie avec la loi de $X$ : $P(X = 0) = 0{,}14$, $P(X = 1) = 0{,}41$, $P(X = 2) = 0{,}36$ et $P(X = 3) = 0{,}09$.

6.3 Une variable dont la loi est difficile

Exemple 8 (un échange de cadeaux). Pour un échange de cadeaux à Noël, $n$ amis écrivent leur nom sur un papier, et chacun en tire un au hasard, sans remise. Soit $X$ le nombre d'amis qui tirent leur propre nom. La loi de $X$ est difficile à obtenir pour $n$ quelconque.

On écrit $X = X_1 + \cdots + X_n$, où $X_i = 1$ si l'ami numéro $i$ tire son propre nom. Chaque ami a la même chance de tirer chacun des $n$ noms : $E(X_i) = P(X_i = 1) = \dfrac1n$. Par linéarité, $E(X) = n \times \frac1n = 1.$ Quel que soit le nombre d'amis, on attend une seule personne qui tire son propre nom.

Vérification pour $n = 4$. Il y a $4! = 24$ tirages possibles. En les énumérant, on obtient :

$k$	$0$	$1$	$2$	$4$
$P(X = k)$	$\dfrac{9}{24}$	$\dfrac{8}{24}$	$\dfrac{6}{24}$	$\dfrac{1}{24}$

On trouve bien $E(X) = \dfrac{0 + 8 + 12 + 4}{24} = 1$.

Attention à la variance. Les $X_i$ ne sont pas indépendantes : avec deux amis, si l'un tire son nom, l'autre aussi. Pour $n = 4$, le calcul direct donne $V(X) = 1$, alors que la somme des variances vaut $4 \times \dfrac14 \times \dfrac34 = 0{,}75$.

6.4 Un tirage sans remise

Exemple 9 (des jetons). Un sac contient $10$ jetons, dont $3$ rouges. On en tire $4$ au hasard, sans remise. Soit $X$ le nombre de jetons rouges obtenus. Ce n'est pas une loi binomiale, car les tirages ne sont pas indépendants.

On écrit $X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$, où $X_i = 1$ si le jeton tiré au rang $i$ est rouge. Par symétrie, le jeton tiré au rang $i$ peut être chacun des $10$ jetons, avec la même probabilité : $E(X_i) = \dfrac{3}{10}$. Par linéarité, $E(X) = 4 \times \frac{3}{10} = 1{,}2.$

6.5 Un score

Exemple 10 (points négatifs). Un questionnaire compte $20$ questions à quatre réponses. Une bonne réponse rapporte $3$ points, une mauvaise en retire $1$. Un candidat répond au hasard à toutes les questions. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}25)$, et son score est $Y = 3X - (20 - X) = 4X - 20.$ Comme $E(X) = 5$ et $V(X) = 3{,}75$, on obtient $E(Y) = 4 \times 5 - 20 = 0$ et $V(Y) = 4^2 \times 3{,}75 = 60$. Répondre au hasard ne rapporte rien en moyenne, mais le score reste très dispersé : $\sigma(Y) = \sqrt{60} \approx 7{,}75$.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Linéarité : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = a\,E(X)$, pour toutes variables, indépendantes ou non. On calcule ainsi une espérance sans connaître la loi de la somme.
2. Changement affine : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$, $V(aX + b) = a^2\,V(X)$, $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$. Ajouter déplace, multiplier étale.
3. Variables indépendantes : dans une succession d'épreuves indépendantes, des variables liées à des épreuves différentes sont indépendantes. Cette indépendance fait partie du modèle.
4. Additivité (admise) : si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ et $V(X - Y) = V(X) + V(Y)$. Sans indépendance, c'est faux en général. Les écarts types ne s'additionnent pas.
5. Loi binomiale : le nombre de succès est une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, donc $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$, $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.
6. Échantillon : $n$ variables indépendantes de même loi. $E(S_n) = n\,E(X)$, $V(S_n) = n\,V(X)$, $\sigma(S_n) = \sqrt{n}\,\sigma(X)$ ; $E(M_n) = E(X)$, $V(M_n) = \dfrac{V(X)}{n}$, $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$.
7. Méthode : pour étudier une variable compliquée, on l'écrit comme une somme de variables simples, souvent des variables qui valent $1$ ou $0$.