Croissances comparées

6.1 En $+\infty$

Quand $x \to +\infty$, $\ln x$ et $x$ tendent tous les deux vers $+\infty$ : le quotient $\frac{\ln x}{x}$ est une forme indéterminée.

Théorème. Pour tout entier $n \geq 1$, $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0.$

Démonstration. Cas $n = 1$. On pose $X = \ln x$, donc $x = \mathrm{e}^X$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$, et $\frac{\ln x}{x} = \frac{X}{\mathrm{e}^X}.$ D'après la croissance comparée du chapitre 4, $\lim\limits_{X\to+\infty} \dfrac{X}{\mathrm{e}^X} = 0$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.

Cas $n \geq 2$. $\dfrac{\ln x}{x^n} = \dfrac{\ln x}{x} \times \dfrac{1}{x^{n-1}}$, produit de deux facteurs qui tendent vers $0$.

6.2 En $0$ : la limite de $x\ln x$

Théorème (démonstration du programme). $\lim_{x\to0^+} x\ln x = 0.$

Démonstration. Quand $x \to 0^+$, $x\ln x$ est de la forme « $0 \times (-\infty)$ », indéterminée. On pose $X = \ln x$, donc $x = \mathrm{e}^X$. Quand $x \to 0^+$, $X \to -\infty$ (leçon 5), et $x\ln x = \mathrm{e}^X \times X = X\,\mathrm{e}^X.$ D'après le chapitre 4, $\lim\limits_{X\to-\infty} X\,\mathrm{e}^X = 0$. Donc $\lim\limits_{x\to0^+} x\ln x = 0$.

Conséquence. Pour tout entier $n \geq 1$, $\lim\limits_{x\to0^+} x^n\ln x = 0$ : pour $n \geq 2$, $x^n\ln x = x^{n-1} \times x\ln x$, produit de deux facteurs qui tendent vers $0$.

6.3 La règle à retenir

En $+\infty$ comme en $0$, face à une puissance de $x$, c'est la puissance qui l'emporte sur le logarithme.

En $+\infty$, les trois fonctions $\ln x$, $x^n$ et $\mathrm{e}^x$ tendent vers $+\infty$, de plus en plus vite. Quelques valeurs :

• pour $x = 10^6$ : $\ln x \approx 13{,}8$ et $\dfrac{\ln x}{x} \approx 0{,}000\,014$ ;
• pour $x = 0{,}001$ : $\ln x \approx -6{,}9$ et $x\ln x \approx -0{,}0069$.

6.4 Exemples

Exemple 24. $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - \ln x)$ : forme « $\infty - \infty$ ». On factorise par $x$ : $x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right).$ Par croissance comparée, la parenthèse tend vers $1$ ; donc $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - \ln x) = +\infty$.

Exemple 25. $\lim\limits_{x\to0^+} x(\ln x - 2) = \lim\limits_{x\to0^+} (x\ln x - 2x) = 0 - 0 = 0$, et $\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{3\ln x}{x^2} = 3 \times 0 = 0$.

Exemple 26 : étude de $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.

• Limites. En $0^+$ : $\ln x \to -\infty$ et $\frac1x \to +\infty$, donc $f(x) = \ln x \times \frac1x \to -\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée). En $+\infty$ : $f(x) \to 0$ par croissance comparée. Les deux axes sont asymptotes.
• Dérivée. Par la règle du quotient : $f'(x) = \dfrac{\frac1x \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$, du signe de $1 - \ln x$ : positive si $x < \mathrm{e}$, négative si $x > \mathrm{e}$.

$x$	$0$		$\mathrm{e}$		$+\infty$
$f'(x)$	‖	$+$	$0$	$-$
$f$	$-\infty$	croissante	$\frac1{\mathrm{e}}$	décroissante	$0$

Le maximum est $f(\mathrm{e}) = \dfrac1{\mathrm{e}} \approx 0{,}368$. La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 1$. Conséquence : $\ln x \leq \dfrac{x}{\mathrm{e}}$ pour tout $x > 0$ ; c'est la tangente de la leçon 5, qui passe par l'origine.