Dérivée et variations

4.1 La dérivée de $\ln$

Théorème (démonstration du programme, « la dérivabilité étant admise »). La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \frac1x.$

Démonstration. On admet que $\ln$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Pour tout $x > 0$, $\mathrm{e}^{\ln x} = x$. On dérive les deux membres.

• À gauche, la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{\ln x}$ est de la forme $\mathrm{e}^u$ avec $u = \ln$. D'après le chapitre 5, $\left(\mathrm{e}^u\right)' = u'\,\mathrm{e}^u$ : sa dérivée est $\ln'(x) \times \mathrm{e}^{\ln x} = \ln'(x) \times x$.
• À droite, la dérivée de $x \mapsto x$ est $1$.

Donc $x \times \ln'(x) = 1$, et comme $x \neq 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x$.

4.2 Variations

Pour tout $x > 0$, $\ln'(x) = \dfrac1x > 0$ : on retrouve que $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ (leçon 3).

4.3 Tangente en $1$ et concavité

• Tangente au point d'abscisse $1$. $\ln 1 = 0$ et $\ln'(1) = 1$ : elle a pour équation $y = 0 + 1 \times (x - 1)$, soit $y = x - 1$.
• Concavité. La dérivée seconde est $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : la fonction $\ln$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ (chapitre 5). Sa courbe est donc en dessous de ses tangentes, en particulier de la tangente en $1$ : $\text{pour tout } x > 0, \qquad \ln x \leq x - 1.$
• La même inégalité par une étude de fonction. Soit $h(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$. $h'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x - 1}{x}$, négative sur $]0\,;1[$ et positive sur $]1\,;+\infty[$ : $h$ admet un minimum en $1$, $h(1) = 0$. Donc $h(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$.
• Une inégalité dans l'autre sens. En appliquant l'inégalité à $\frac1x$ : $\ln\left(\frac1x\right) \leq \frac1x - 1$, soit $-\ln x \leq \frac1x - 1$. Donc, pour tout $x > 0$, $1 - \frac1x \leq \ln x \leq x - 1.$
• Près de $1$. Le nombre dérivé $\ln'(1) = 1$ est la limite du taux de variation : $\lim\limits_{h\to0} \dfrac{\ln(1 + h)}{h} = 1$. Pour $h$ proche de $0$, $\ln(1 + h) \approx h$ ; par exemple $\ln 1{,}01 \approx 0{,}00995$. Cette idée sert à l'algorithme de Briggs (leçon 8).

4.4 Dérivée de $\ln(u)$

Propriété. Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $\big(\ln(u)\big)' = \frac{u'}{u}.$

C'est la dérivée d'une composée (chapitre 5) : $\big(\ln(u(x))\big)' = \ln'\big(u(x)\big) \times u'(x) = \dfrac{1}{u(x)} \times u'(x)$. Comme $u(x) > 0$, la dérivée de $\ln(u)$ a le signe de $u'$ : $\ln(u)$ a les mêmes variations que $u$.

Exemple 17. $f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$ sur $\mathbb{R}$ (car $x^2 + 1 > 0$). $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$, du signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, et son minimum est $f(0) = \ln 1 = 0$.

Exemple 18. $g(x) = \ln(2x - 3)$ sur $\left]\frac32\,;+\infty\right[$. $g'(x) = \dfrac{2}{2x - 3} > 0$ : $g$ est strictement croissante.

Exemple 19. $k(x) = \ln\left(\mathrm{e}^x + 1\right)$ sur $\mathbb{R}$. $k'(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x + 1} > 0$.

4.5 Une étude de fonction

Exemple 20. Soit $p(x) = x - 2\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$.

$p'(x) = 1 - \dfrac2x = \dfrac{x - 2}{x}$. Comme $x > 0$, $p'(x)$ a le signe de $x - 2$.

$x$	$0$		$2$		$+\infty$
$p'(x)$		$-$	$0$	$+$
$p$		décroissante	$2 - 2\ln 2$	croissante

Le minimum vaut $p(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0{,}614 > 0$. Donc $p(x) > 0$ pour tout $x > 0$ : $\ln x < \dfrac{x}{2}$ pour tout $x > 0$. Le logarithme reste loin sous la droite $y = \frac{x}{2}$ : la leçon 6 précise cette idée.