La fonction logarithme népérien

1.1 Une équation sans outil

Résolvons $\mathrm{e}^x = 2$. La fonction exponentielle est continue (elle est dérivable, chapitre 7) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Comme $\mathrm{e}^0 = 1 < 2$ et $\mathrm{e}^1 = \mathrm{e} \approx 2{,}718 > 2$, le théorème des valeurs intermédiaires (cas des fonctions continues strictement monotones, chapitre 7) donne une unique solution, comprise entre $0$ et $1$. La calculatrice donne environ $0{,}693$. Mais aucune des fonctions connues ne donne la valeur exacte : il faut une nouvelle fonction.

1.2 Définition

Propriété. Pour tout réel $k > 0$, l'équation $\mathrm{e}^x = k$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$. Pour $k \leq 0$, elle n'en admet aucune.

Pourquoi. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim\limits_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$ (chapitre 4). Si $k > 0$, il existe donc un réel $a$ tel que $\mathrm{e}^a < k$ et un réel $b$ tel que $\mathrm{e}^b > k$ ; le théorème des valeurs intermédiaires appliqué sur $[a\,;b]$ donne une solution, et la stricte croissance empêche qu'il y en ait deux. Si $k \leq 0$, il n'y a pas de solution, car $\mathrm{e}^x > 0$ pour tout réel $x$.

Définition. Pour tout réel $x > 0$, le logarithme népérien de $x$, noté $\ln x$ ou $\ln(x)$, est l'unique réel dont l'exponentielle vaut $x$. La fonction $\ln : x \mapsto \ln x$ est définie sur $]0\,;+\infty[$.

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

1.3 Une fonction réciproque

La définition se traduit par une équivalence : pour tout réel $x > 0$ et tout réel $y$, $y = \ln x \iff \mathrm{e}^y = x.$

On dit que la fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. L'exponentielle associe à chaque réel un nombre strictement positif, et chaque nombre strictement positif est atteint exactement une fois : c'est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]0\,;+\infty[$. Le logarithme fait le chemin inverse, de $]0\,;+\infty[$ vers $\mathbb{R}$. $x \;\xrightarrow{\;\exp\;}\; \mathrm{e}^x \;\xrightarrow{\;\ln\;}\; x$

1.4 Premières valeurs

Pour les autres nombres, on utilise la touche « ln » de la calculatrice : $\ln 2 \approx 0{,}693$, $\ln 10 \approx 2{,}303$, $\ln 0{,}5 \approx -0{,}693$.

1.5 Deux formules

Elles découlent directement de la définition :

• pour tout réel $x > 0$, $\quad \mathrm{e}^{\ln x} = x$ ;
• pour tout réel $x$, $\quad \ln\left(\mathrm{e}^x\right) = x$.

Appliquer l'une des deux fonctions puis l'autre ramène au point de départ. La première formule n'a de sens que pour $x > 0$.

1.6 Exemples

Exemple 1. $\ln\left(\mathrm{e}^{-3}\right) = -3$ ; $\quad \mathrm{e}^{\ln 7} = 7$ ; $\quad \ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right) = \ln\left(\mathrm{e}^{1/2}\right) = \dfrac12$, car $\sqrt{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{1/2}$.

Exemple 2. Résoudre $\mathrm{e}^x = 5$. Comme $5 > 0$, l'unique solution est $x = \ln 5 \approx 1{,}609$. L'équation $\mathrm{e}^x = -3$ n'a aucune solution ; l'équation $\mathrm{e}^x = 1$ a pour solution $x = \ln 1 = 0$.

Exemple 3. Résoudre $\ln x = 2$, pour $x > 0$. Par l'équivalence de 1.3, $\ln x = 2 \iff x = \mathrm{e}^2 \approx 7{,}389$. De même, $\ln x = -1 \iff x = \mathrm{e}^{-1} = \dfrac1{\mathrm{e}} \approx 0{,}368$.

Exemple 4. Résoudre $\mathrm{e}^{3x} = 4$. Comme $4 > 0$ : $3x = \ln 4$, donc $x = \dfrac{\ln 4}{3} \approx 0{,}462$.