Utiliser l'espérance

7.1 Gain net

Quand un jeu demande une mise $m$ et rapporte une somme $X$, le gain net du joueur est $G = X - m$. Par linéarité, $E(G) = E(X) - m$.

7.2 Jeu équitable

Définition. Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle. Il est favorable au joueur si elle est strictement positive, et défavorable si elle est strictement négative.

Le jeu est donc équitable lorsque la mise est égale à l'espérance de la somme reçue : $m = E(X)$.

Exemple 34. Dans le jeu des enveloppes, $E(X) = 3$. Avec une mise de $3$ euros, le jeu est équitable. Avec une mise de $4$ euros, $E(G) = -1$ : le jeu est défavorable, et sur un grand nombre de parties, le stand gagne environ $1$ euro par partie. Avec une mise de $2$ euros, $E(G) = 1$ : le jeu est favorable au joueur.

Exemple 35 (trouver un lot). La mise reste de $4$ euros, et les deux enveloppes de $10$ euros contiennent maintenant $a$ euros. On cherche $a$ pour que le jeu soit équitable. On a $E(X) = 0{,}2 \times 5 + 0{,}2\,a = 1 + 0{,}2\,a$. On résout $1 + 0{,}2\,a = 4$, soit $a = 15$ : il faut $15$ euros dans ces deux enveloppes.

7.3 Avec un arbre

Exemple 36 (le concours de l'archère). Pour le concours, l'inscription coûte $3$ euros. Une flèche dans la cible rapporte $2$ euros au total, deux flèches rapportent $5$ euros au total. Avec la loi de l'exemple 12, la somme reçue $R$ prend les valeurs $0$, $2$ et $5$ avec les probabilités $0{,}04$, $0{,}32$ et $0{,}64$. Donc $E(R) = 0{,}64 + 3{,}2 = 3{,}84$, et $E(G) = 3{,}84 - 3 = 0{,}84$. Le jeu lui est favorable : elle gagne en moyenne $0{,}84$ euro par concours.

7.4 L'espérance ne dit pas tout

Exemple 37 (une assurance). Un voyage coûte $200$ euros. La probabilité de devoir l'annuler est de $0{,}1$, et le voyage est alors perdu. On note $L$ la perte, en euros : $L$ vaut $200$ avec la probabilité $0{,}1$, et $0$ sinon. Alors $E(L) = 20$, $E(L^2) = 4\,000$, $V(L) = 4\,000 - 400 = 3\,600$ et $\sigma(L) = 60$.

Une assurance annulation coûte $25$ euros et rembourse tout. La perte vaut alors $25$ euros, de façon certaine : son écart type est nul. L'assurance coûte $5$ euros de plus que la perte moyenne, et ces $5$ euros sont le gain moyen de l'assureur par contrat. Mais elle supprime le risque. Pour choisir, on regarde l'espérance et l'écart type.

7.5 Un peu d'histoire

On peut considérer que les origines du calcul des probabilités remontent au XVIIe siècle. Pascal, Huygens, Moivre, Bernoulli, Euler et d'Alembert appliquent les notions de variable aléatoire et d'espérance à des problèmes de jeux, d'assurances et d'astronomie. Ce n'est que vers 1930 que la description actuelle, en termes d'univers, s'est imposée : la variable aléatoire apparaît alors comme une fonction définie sur l'univers.