Variables aléatoires réelles

Leçon 1 : Variable aléatoire

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1.1 Un nombre qui dépend du hasard

Exemple 1 (le jeu des enveloppes). À la fête du quartier, un stand propose une boîte de dix enveloppes fermées : six sont vides, deux contiennent $5$ euros et deux contiennent $10$ euros. On tire une enveloppe au hasard. L'univers est $\Omega = \{e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_{10}\}$, avec les enveloppes vides $e_1$ à $e_6$, les enveloppes de $5$ euros $e_7$ et $e_8$, et celles de $10$ euros $e_9$ et $e_{10}$.

Ce qui intéresse le joueur n'est pas le numéro de l'enveloppe, mais la somme trouvée. On note $X$ cette somme, en euros. Avant le tirage, on ne connaît pas sa valeur : c'est un nombre qui dépend du hasard.

1.2 Définition

Définition. Une variable aléatoire réelle sur l'univers $\Omega$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs réelles : à chaque issue $\omega$, elle associe un nombre réel $X(\omega)$.

Exemple 2. Dans le jeu des enveloppes, $X(e_1) = X(e_2) = \cdots = X(e_6) = 0$, $X(e_7) = X(e_8) = 5$ et $X(e_9) = X(e_{10}) = 10$. La variable $X$ prend trois valeurs : $0$, $5$ et $10$. Plusieurs issues peuvent donner la même valeur : une fonction le permet, et c'est très fréquent ici.

Le nom est trompeur : une variable aléatoire est une fonction, parfaitement déterminée. Ce qui est aléatoire, c'est l'issue obtenue.

1.3 Plusieurs variables sur un même univers

Sur un même univers, on peut définir autant de variables que l'on veut.

Exemple 3. Le stand demande une participation de $4$ euros. Le gain net du joueur est $G = X - 4$. Pour chaque issue, $G(\omega) = X(\omega) - 4$. La variable $G$ prend les valeurs $-4$, $1$ et $6$ : une variable aléatoire peut être négative. On peut aussi définir $Y$, qui vaut $1$ si l'enveloppe n'est pas vide et $0$ sinon.

1.4 Modéliser en trois étapes

1. Décrire l'expérience et son univers.
2. Dire ce que mesure la variable : à chaque issue, quel nombre ?
3. Lister les valeurs possibles.

Exemple 4 (deux pièces). On lance deux pièces et on note $X$ le nombre de « pile » obtenus. L'univers est $\Omega = \{PP\,;PF\,;FP\,;FF\}$, en notant dans l'ordre le résultat de chaque pièce. On a $X(PP) = 2$, $X(PF) = X(FP) = 1$ et $X(FF) = 0$. Les valeurs possibles sont $0$, $1$ et $2$.

Exemple 5 (tirer au sort dans un groupe). On tire au sort un élève d'une classe de $30$ élèves et on note $T$ son temps de trajet, en minutes. L'univers est l'ensemble des $30$ élèves. La variable $T$ associe à chaque élève son temps de trajet.

1.5 Ce qui n'est pas une variable aléatoire réelle

Une variable aléatoire réelle prend des valeurs numériques.

Exemple 6. On choisit une voiture au hasard sur un parking et on note sa couleur : ce n'est pas un nombre, donc ce n'est pas une variable aléatoire réelle. En revanche, on peut poser $Z = 1$ si la voiture est rouge et $Z = 0$ sinon : $Z$ est une variable aléatoire réelle. Le nombre de portes de la voiture en est une aussi.

Leçon 2 : Notations et loi de probabilité

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 L'évènement {X = a}

Pour un réel $a$, on note $\{X = a\}$ l'ensemble des issues pour lesquelles $X$ vaut $a$. C'est un évènement, et sa probabilité se note $P(X = a)$.

Exemple 7. Dans le jeu des enveloppes, $\{X = 5\} = \{e_7\,;e_8\}$, donc $P(X = 5) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$. De même, $P(X = 0) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$. Enfin, $\{X = 3\} = \varnothing$ : aucune enveloppe ne contient $3$ euros, donc $P(X = 3) = 0$.

2.2 L'évènement {X ≤ a}

On note $\{X \leq a\}$ l'ensemble des issues pour lesquelles $X$ est inférieure ou égale à $a$, et $P(X \leq a)$ sa probabilité.

Exemple 8. $\{X \leq 5\} = \{e_1\,;e_2\,;\ldots\,;e_8\}$, donc $P(X \leq 5) = 0{,}8$. On obtient aussi cette valeur par addition : $P(X \leq 5) = P(X = 0) + P(X = 5) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8$. On a de même $P(X \leq 7) = 0{,}8$, car aucune enveloppe ne contient entre $5$ et $7$ euros.

2.3 De la phrase au symbole

Attention. « Au moins $5$ » contient la valeur $5$, « plus de $5$ » ne la contient pas. Dans le jeu des enveloppes, $P(X \geq 5) = 0{,}4$ et $P(X > 5) = 0{,}2$.

Exemple 9. Traduis dans les deux sens. « Le joueur trouve au moins $5$ euros » s'écrit $\{X \geq 5\}$. Et $P(X < 10) = 0{,}8$ se lit : « la probabilité de trouver moins de $10$ euros est de $0{,}8$ ».

2.4 Le contraire

Le contraire de $\{X \leq a\}$ est $\{X > a\}$. Donc $P(X > a) = 1 - P(X \leq a)$.

Exemple 10. $P(X > 5) = 1 - P(X \leq 5) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$. Le contraire de « au plus $5$ » est bien « plus de $5$ », et non « au moins $5$ ».

2.5 Loi de probabilité

Définition. La loi de probabilité de $X$ est la donnée, pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$, de la probabilité $p_i = P(X = x_i)$. On la présente dans un tableau. La somme des $p_i$ vaut $1$.

Exemple 11. La loi de la somme trouvée dans une enveloppe est la suivante.

$x_i$	$0$	$5$	$10$
$P(X = x_i)$	$0{,}6$	$0{,}2$	$0{,}2$

On vérifie : $0{,}6 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1$. On peut représenter cette loi par un diagramme en bâtons, avec un bâton de hauteur $p_i$ au-dessus de chaque valeur $x_i$.

Automatisme. Dès qu'une loi est écrite, vérifie de tête que la somme des probabilités vaut $1$. S'il manque une valeur dans le tableau, c'est ainsi qu'on la trouve.

2.6 Déterminer une loi

Trois étapes : lister les valeurs de $X$, calculer la probabilité de chaque évènement $\{X = x_i\}$, puis vérifier que la somme vaut $1$. Quand l'expérience se déroule en plusieurs temps, on dessine un arbre pondéré.

Exemple 12 (l'archère). Une archère tire deux flèches. À chaque tir, elle touche la cible avec la probabilité $0{,}8$, et on suppose les tirs indépendants : c'est une hypothèse du modèle. On note $X$ le nombre de flèches dans la cible. L'arbre a quatre chemins, et chacun donne une valeur de $X$.

• Deux tirs réussis : $X = 2$, avec la probabilité $0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64$.
• Un seul tir réussi : deux chemins, de probabilité $0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}16$ chacun, donc $P(X = 1) = 0{,}32$.
• Aucun tir réussi : $X = 0$, avec la probabilité $0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$.

$x_i$	$0$	$1$	$2$
$P(X = x_i)$	$0{,}04$	$0{,}32$	$0{,}64$

La somme vaut bien $1$. La probabilité qu'au plus une flèche touche la cible est $P(X \leq 1) = 0{,}04 + 0{,}32 = 0{,}36$.

Exemple 13. Pour les deux pièces, les quatre issues sont équiprobables : $P(X = 0) = \dfrac14$, $P(X = 1) = \dfrac24 = \dfrac12$ et $P(X = 2) = \dfrac14$.

Leçon 3 : Espérance, lien avec la moyenne

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3.1 L'idée : une moyenne sur un grand nombre de parties

Exemple 14. Imagine $1\,000$ parties du jeu des enveloppes, avec exactement les proportions de la loi : $600$ enveloppes vides, $200$ de $5$ euros et $200$ de $10$ euros. La somme totale vaut $600 \times 0 + 200 \times 5 + 200 \times 10 = 3\,000$ euros, soit $3$ euros par partie. On a calculé une moyenne pondérée, et les proportions jouent le rôle des coefficients.

3.2 Définition

Définition. Si $X$ prend les valeurs $x_1$, …, $x_n$ avec les probabilités $p_1$, …, $p_n$, l'espérance de $X$ est le nombre $E(X) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n.$

On peut l'écrire avec le symbole somme : $E(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i x_i$.

Exemple 15. Pour le jeu des enveloppes : $E(X) = 0{,}6 \times 0 + 0{,}2 \times 5 + 0{,}2 \times 10 = 0 + 1 + 2 = 3$.

Exemple 16. Pour l'archère : $E(X) = 0{,}04 \times 0 + 0{,}32 \times 1 + 0{,}64 \times 2 = 0{,}32 + 1{,}28 = 1{,}6$.

3.3 Interpréter

L'espérance est la valeur moyenne de $X$ dans le modèle. Sur un très grand nombre de répétitions, la moyenne des valeurs obtenues est proche de $E(X)$.

Ce n'est pas forcément une valeur prise par $X$ : aucune enveloppe ne contient $3$ euros, et l'archère ne plante jamais $1{,}6$ flèche. L'espérance a la même unité que $X$.

3.4 Rappels de statistiques

Automatisme. Une série statistique se lit sur un tableau ou un diagramme en barres : repère d'abord les graduations des axes. Sa moyenne est la somme des valeurs, divisée par l'effectif total. La médiane partage la série ordonnée en deux parties de même effectif. Le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ sont les plus petites valeurs de la série telles qu'au moins $25\,\%$, et au moins $75\,\%$, des valeurs leur soient inférieures ou égales.

Exemple 17 (une résidence). Une résidence compte $20$ logements. On relève le nombre d'occupants de chacun.

Occupants	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$8$	$6$	$4$	$2$

La moyenne vaut $\dfrac{8 \times 1 + 6 \times 2 + 4 \times 3 + 2 \times 4}{20} = \dfrac{40}{20} = 2$. Dans la série ordonnée, les dixième et onzième valeurs valent $2$ : la médiane vaut $2$. La cinquième valeur donne $Q_1 = 1$, et la quinzième donne $Q_3 = 3$.

3.5 Une population vue comme une expérience aléatoire

On peut étudier une population avec des probabilités : on tire au sort un individu, avec équiprobabilité. Une proportion devient alors une probabilité.

Exemple 18. On tire au hasard un logement de la résidence, et on note $X$ son nombre d'occupants. Les effectifs divisés par $20$ donnent la loi de $X$.

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}2$	$0{,}1$

Alors $E(X) = 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 + 0{,}4 = 2$ : on retrouve la moyenne de la série. C'est le même calcul, écrit avec des proportions : l'espérance de $X$ est la moyenne de la population.

3.6 Le dictionnaire entre statistique et probabilités

Exemple 19. Parmi les logements occupés par au moins deux personnes, soit $12$ logements, la proportion de logements de quatre occupants vaut $\dfrac{2}{12} = \dfrac16$. Avec les probabilités, c'est $P_{\{X \geq 2\}}(X = 4) = \dfrac{0{,}1}{0{,}6} = \dfrac16$.

Leçon 4 : Variance et écart type

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4.1 Même espérance, comportements différents

Exemple 20 (deux jeux). Un second stand propose un autre jeu : on y gagne $2$ ou $4$ euros, avec la probabilité $0{,}5$ pour chaque somme. On note $Y$ ce gain. Alors $E(Y) = 0{,}5 \times 2 + 0{,}5 \times 4 = 3$. Les deux jeux ont la même espérance, mais ils ne se ressemblent pas : avec $Y$, on est toujours proche de $3$ euros, alors qu'avec $X$ on trouve souvent rien, et parfois $10$ euros. L'espérance ne dit rien de cette différence.

4.2 Les écarts à l'espérance

Pour mesurer la dispersion, on regarde les écarts $x_i - E(X)$.

Exemple 21. Pour $X$, les écarts à $3$ valent $-3$, $2$ et $7$. Leur moyenne pondérée est nulle : $0{,}6 \times (-3) + 0{,}2 \times 2 + 0{,}2 \times 7 = -1{,}8 + 0{,}4 + 1{,}4 = 0$. C'est toujours le cas : les écarts positifs compensent les écarts négatifs. On élève donc les écarts au carré, pour qu'ils ne se compensent plus.

4.3 Variance

Définition. La variance de $X$ est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance : $V(X) = p_1\big(x_1 - E(X)\big)^2 + p_2\big(x_2 - E(X)\big)^2 + \cdots + p_n\big(x_n - E(X)\big)^2.$

Exemple 22. Pour $X$, avec $E(X) = 3$ :

$x_i$	$0$	$5$	$10$
$p_i$	$0{,}6$	$0{,}2$	$0{,}2$
$x_i - 3$	$-3$	$2$	$7$
$(x_i - 3)^2$	$9$	$4$	$49$
$p_i (x_i - 3)^2$	$5{,}4$	$0{,}8$	$9{,}8$

En additionnant la dernière ligne, $V(X) = 5{,}4 + 0{,}8 + 9{,}8 = 16$.

4.4 Écart type

Définition. L'écart type de $X$ est la racine carrée de sa variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Une variance est une somme de termes positifs ou nuls : elle est positive ou nulle, et sa racine carrée existe. Si $X$ est en euros, la variance est en euros au carré, ce qui n'a pas de sens concret. L'écart type, lui, est en euros, comme $X$.

Exemple 23. $\sigma(X) = \sqrt{16} = 4$. Pour $Y$ : $V(Y) = 0{,}5 \times (2 - 3)^2 + 0{,}5 \times (4 - 3)^2 = 1$, donc $\sigma(Y) = 1$.

4.5 Interpréter

L'écart type mesure la dispersion de $X$ autour de son espérance. Plus il est grand, plus les valeurs s'éloignent de la moyenne : dans un jeu, il mesure le risque.

Exemple 24. Les deux jeux ont la même espérance, $3$ euros, mais $\sigma(X) = 4$ et $\sigma(Y) = 1$ : le jeu des enveloppes est quatre fois plus dispersé. Un joueur prudent choisira $Y$, un joueur qui aime le risque choisira $X$. Si $X$ ne prend qu'une seule valeur, tous les écarts sont nuls, et $\sigma(X) = 0$.

4.6 Dans une population

Exemple 25. Pour la résidence, $E(X) = 2$, et $V(X) = 0{,}4 \times 1 + 0{,}3 \times 0 + 0{,}2 \times 1 + 0{,}1 \times 4 = 1$. Donc $\sigma(X) = 1$ : c'est l'écart type de la série statistique, calculé avec des proportions.

Leçon 5 : Linéarité de l'espérance

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5.1 Transformer une variable

Si $X$ est une variable aléatoire et si $a$ et $b$ sont deux réels, $aX + b$ est la variable qui associe à chaque issue $\omega$ le nombre $a\,X(\omega) + b$.

Exemple 26. Le stand double tous les lots, puis ajoute $1$ euro à chaque joueur : le joueur reçoit $S = 2X + 1$. Les valeurs de $S$ sont $1$, $11$ et $21$, avec les mêmes probabilités. Donc $E(S) = 0{,}6 \times 1 + 0{,}2 \times 11 + 0{,}2 \times 21 = 0{,}6 + 2{,}2 + 4{,}2 = 7$. Or $2 \times 3 + 1 = 7$ : on pouvait s'en passer.

5.2 La propriété

Propriété (linéarité de l'espérance). Pour tous réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = a\,E(X) + b.$

Démonstration. Si $X$ prend les valeurs $x_1$, …, $x_n$ avec les probabilités $p_1$, …, $p_n$, alors $aX + b$ prend les valeurs $ax_i + b$ avec les mêmes probabilités. Donc $E(aX + b) = p_1(ax_1 + b) + \cdots + p_n(ax_n + b) = a(p_1 x_1 + \cdots + p_n x_n) + b(p_1 + \cdots + p_n).$ La première parenthèse vaut $E(X)$, et la seconde vaut $1$. Donc $E(aX + b) = a\,E(X) + b$.

5.3 Calculer sans refaire la loi

Exemple 27. Le gain net $G = X - 4$ a pour espérance $E(G) = E(X) - 4 = 3 - 4 = -1$ : le joueur perd en moyenne $1$ euro par partie.

Exemple 28 (un marchand de glaces). Un marchand vend chaque jour un nombre $N$ de cornets, avec $E(N) = 40$. Un cornet rapporte $3$ euros et il paie $50$ euros de frais par jour. Sa recette nette est $R = 3N - 50$, donc $E(R) = 3 \times 40 - 50 = 70$ euros, sans connaître la loi de $N$.

5.4 Ce que la linéarité ne dit pas

Attention. La propriété ne vaut que pour $aX + b$. En général, $E(X^2)$ n'est pas égale à $E(X)^2$. Pour le jeu des enveloppes, $X^2$ prend les valeurs $0$, $25$ et $100$, donc $E(X^2) = 0{,}2 \times 25 + 0{,}2 \times 100 = 25$, alors que $E(X)^2 = 3^2 = 9$.

5.5 Somme de deux variables

Propriété (admise). Pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même univers : $E(X + Y) = E(X) + E(Y).$

Aucune hypothèse d'indépendance n'est demandée. Cette propriété sera étudiée en Terminale ; ici, on la voit sur un exemple.

Exemple 29 (les trajets de Nora). Nora, apprentie, va au travail en scooter. On choisit au hasard l'un des cinq jours de sa semaine. On note $X$ la durée de l'aller et $Y$ celle du retour, en minutes.

Jour	lundi	mardi	mercredi	jeudi	vendredi
$X$	$20$	$25$	$20$	$30$	$25$
$Y$	$30$	$25$	$20$	$35$	$40$
$X + Y$	$50$	$50$	$40$	$65$	$65$

Les deux variables sont définies sur le même univers : les cinq jours. On a $E(X) = \dfrac{120}{5} = 24$ et $E(Y) = \dfrac{150}{5} = 30$. La variable $X + Y$ vaut $40$ avec la probabilité $0{,}2$, $50$ avec la probabilité $0{,}4$ et $65$ avec la probabilité $0{,}4$. Donc $E(X + Y) = 8 + 20 + 26 = 54$, et on a bien $24 + 30 = 54$.

Leçon 6 : Formule de König-Huygens

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6.1 La variable X²

Comme $aX + b$, le carré $X^2$ est une variable aléatoire : à chaque issue, il associe le carré de $X$. Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$, alors $E(X^2) = p_1 x_1^2 + p_2 x_2^2 + \cdots + p_n x_n^2.$

L'écriture $E(X)^2$ désigne le carré de l'espérance : $E(X)^2 = \big(E(X)\big)^2$. Ce n'est pas la même chose.

6.2 La formule

Propriété (formule de König-Huygens). $V(X) = E(X^2) - E(X)^2.$

Justification. On note $\mu = E(X)$. Avec l'identité remarquable du chapitre 1, $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$. On multiplie chaque ligne par $p_i$ et on additionne : $V(X) = (p_1 x_1^2 + \cdots + p_n x_n^2) - 2\mu(p_1 x_1 + \cdots + p_n x_n) + \mu^2(p_1 + \cdots + p_n).$ Les trois parenthèses valent $E(X^2)$, $\mu$ et $1$. Donc $V(X) = E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - \mu^2$.

6.3 Une méthode en trois lignes

Calcule $E(X)$, puis $E(X^2)$, puis fais la différence. Il n'y a plus de carrés d'écarts à calculer, ce qui est bien plus sûr sans calculatrice.

Exemple 30. Pour le jeu des enveloppes, $E(X) = 3$ et $E(X^2) = 25$, donc $V(X) = 25 - 9 = 16$. C'est le résultat de la leçon 4, en une ligne.

Exemple 31. Pour l'archère, $E(X) = 1{,}6$ et $E(X^2) = 0{,}04 \times 0 + 0{,}32 \times 1 + 0{,}64 \times 4 = 2{,}88$. Donc $V(X) = 2{,}88 - 1{,}6^2 = 2{,}88 - 2{,}56 = 0{,}32$.

Exemple 32 (un dé équilibré). On lance un dé équilibré à six faces. Alors $E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac72$ et $E(X^2) = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \dfrac{91}{6}$. Donc $V(X) = \dfrac{91}{6} - \dfrac{49}{4} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}$.

6.4 Une conséquence

Comme $V(X) \geq 0$, on a toujours $E(X^2) \geq E(X)^2$. On retrouve l'exemple de la leçon 5 : $25 \geq 9$.

6.5 Lien avec le second degré

Exemple 33. Une variable $Z$ vaut $1$ avec la probabilité $p$, et $0$ sinon. Elle compte le succès d'une épreuve de Bernoulli. Alors $E(Z) = p$ et $E(Z^2) = p$, car $0^2 = 0$ et $1^2 = 1$. Donc $V(Z) = p - p^2 = p(1 - p)$.

C'est une fonction polynôme du second degré en $p$, de racines $0$ et $1$. Sa forme canonique est $-\left(p - \dfrac12\right)^2 + \dfrac14$ : la variance est maximale pour $p = \dfrac12$, et elle vaut alors $\dfrac14$. La dispersion est la plus grande quand le succès et l'échec sont également probables, et elle est nulle quand le résultat est certain.

Leçon 7 : Utiliser l'espérance

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7.1 Gain net

Quand un jeu demande une mise $m$ et rapporte une somme $X$, le gain net du joueur est $G = X - m$. Par linéarité, $E(G) = E(X) - m$.

7.2 Jeu équitable

Définition. Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle. Il est favorable au joueur si elle est strictement positive, et défavorable si elle est strictement négative.

Le jeu est donc équitable lorsque la mise est égale à l'espérance de la somme reçue : $m = E(X)$.

Exemple 34. Dans le jeu des enveloppes, $E(X) = 3$. Avec une mise de $3$ euros, le jeu est équitable. Avec une mise de $4$ euros, $E(G) = -1$ : le jeu est défavorable, et sur un grand nombre de parties, le stand gagne environ $1$ euro par partie. Avec une mise de $2$ euros, $E(G) = 1$ : le jeu est favorable au joueur.

Exemple 35 (trouver un lot). La mise reste de $4$ euros, et les deux enveloppes de $10$ euros contiennent maintenant $a$ euros. On cherche $a$ pour que le jeu soit équitable. On a $E(X) = 0{,}2 \times 5 + 0{,}2\,a = 1 + 0{,}2\,a$. On résout $1 + 0{,}2\,a = 4$, soit $a = 15$ : il faut $15$ euros dans ces deux enveloppes.

7.3 Avec un arbre

Exemple 36 (le concours de l'archère). Pour le concours, l'inscription coûte $3$ euros. Une flèche dans la cible rapporte $2$ euros au total, deux flèches rapportent $5$ euros au total. Avec la loi de l'exemple 12, la somme reçue $R$ prend les valeurs $0$, $2$ et $5$ avec les probabilités $0{,}04$, $0{,}32$ et $0{,}64$. Donc $E(R) = 0{,}64 + 3{,}2 = 3{,}84$, et $E(G) = 3{,}84 - 3 = 0{,}84$. Le jeu lui est favorable : elle gagne en moyenne $0{,}84$ euro par concours.

7.4 L'espérance ne dit pas tout

Exemple 37 (une assurance). Un voyage coûte $200$ euros. La probabilité de devoir l'annuler est de $0{,}1$, et le voyage est alors perdu. On note $L$ la perte, en euros : $L$ vaut $200$ avec la probabilité $0{,}1$, et $0$ sinon. Alors $E(L) = 20$, $E(L^2) = 4\,000$, $V(L) = 4\,000 - 400 = 3\,600$ et $\sigma(L) = 60$.

Une assurance annulation coûte $25$ euros et rembourse tout. La perte vaut alors $25$ euros, de façon certaine : son écart type est nul. L'assurance coûte $5$ euros de plus que la perte moyenne, et ces $5$ euros sont le gain moyen de l'assureur par contrat. Mais elle supprime le risque. Pour choisir, on regarde l'espérance et l'écart type.

7.5 Un peu d'histoire

On peut considérer que les origines du calcul des probabilités remontent au XVIIe siècle. Pascal, Huygens, Moivre, Bernoulli, Euler et d'Alembert appliquent les notions de variable aléatoire et d'espérance à des problèmes de jeux, d'assurances et d'astronomie. Ce n'est que vers 1930 que la description actuelle, en termes d'univers, s'est imposée : la variable aléatoire apparaît alors comme une fonction définie sur l'univers.

Leçon 8 : Python, espérance, variance, écart type

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 Une loi, deux listes

On range les valeurs de $X$ dans une liste, et les probabilités dans une autre, dans le même ordre : valeurs[i] a pour probabilité probas[i].

valeurs = [0, 5, 10]
probas = [0.6, 0.2, 0.2]

8.2 L'espérance

On parcourt les deux listes en même temps, et on accumule les produits.

def esperance(valeurs, probas):
    s = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        s = s + probas[i] * valeurs[i]
    return s

8.3 Variance et écart type

La variance appelle la fonction précédente : le programme se construit par morceaux.

from math import sqrt

def variance(valeurs, probas):
    e = esperance(valeurs, probas)
    s = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        s = s + probas[i] * (valeurs[i] - e) ** 2
    return s

def ecart_type(valeurs, probas):
    return sqrt(variance(valeurs, probas))

Exemple 38. Pour le jeu des enveloppes, Python affiche 3.0 pour esperance(valeurs, probas), 16.0 pour la variance et 4.0 pour l'écart type. Pour le second stand, avec [2, 4] et [0.5, 0.5], il affiche 3.0, 1.0 et 1.0.

8.4 Vérifier qu'une loi est correcte

Les nombres à virgule sont stockés de façon approchée en machine. Pour la loi de la résidence, sum([0.4, 0.3, 0.2, 0.1]) donne 0.9999999999999999, et non 1. On compare donc après un arrondi.

def loi_correcte(probas):
    return round(sum(probas), 9) == 1

8.5 La formule de König-Huygens en Python

La liste des carrés se construit en compréhension. Il suffit ensuite de réutiliser esperance.

def variance2(valeurs, probas):
    carres = [v ** 2 for v in valeurs]
    return esperance(carres, probas) - esperance(valeurs, probas) ** 2

Exemple 39. variance2([0, 5, 10], [0.6, 0.2, 0.2]) renvoie 16.0, comme variance.

Leçon 9 : Python, fréquence des lettres d'un texte

Voir la vidéo de la leçon 9

9.1 Une fréquence est une probabilité

On tire au hasard une lettre dans un texte, avec équiprobabilité. La probabilité d'obtenir la lettre « e » est alors la fréquence de « e » dans le texte : c'est le lien entre proportion et probabilité de la leçon 3. Le texte est une population, et chaque lettre en est un individu.

9.2 Compter une lettre

On écrit le texte en minuscules, sans accents, sans ponctuation. On parcourt ses caractères, comme une liste.

def nb_occurrences(lettre, texte):
    n = 0
    for c in texte:
        if c == lettre:
            n = n + 1
    return n

9.3 La liste des fréquences

On construit la liste des effectifs des $26$ lettres, en compréhension, puis on divise par le nombre total de lettres. Les espaces ne sont pas comptés.

alphabet = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"

def frequences(texte):
    effectifs = [nb_occurrences(lettre, texte) for lettre in alphabet]
    total = sum(effectifs)
    return [n / total for n in effectifs]

9.4 En français, en anglais

Voici deux textes de même sens, écrits pour ce cours.

texte_fr = ("le hasard ne suit aucune regle pour une seule partie "
            "mais il devient previsible quand on repete une experience "
            "un tres grand nombre de fois les savants ont longtemps etudie "
            "les jeux de cartes et de des avant de comprendre que les memes "
            "calculs servent aussi pour les assurances la meteo et la medecine "
            "aujourd hui on mesure le risque avec des nombres simples "
            "une moyenne et un ecart type et chacun peut decider "
            "en connaissance de cause")

texte_en = ("chance follows no rule for a single game "
            "but it becomes predictable when we repeat an experiment "
            "a very large number of times scholars studied card games "
            "and dice for a long time before they understood that the same "
            "calculations also serve for insurance weather and medicine "
            "today we measure risk with simple numbers "
            "a mean and a standard deviation and everyone can decide "
            "with full knowledge of the facts")

Exemple 40. Le texte français compte $358$ lettres, le texte anglais $336$. La lettre « e » arrive en tête dans les deux langues : $20{,}7\,\%$ en français et $15{,}2\,\%$ en anglais, en arrondissant à un dixième. La lettre « u » est bien plus fréquente en français ($7{,}3\,\%$ contre $3{,}0\,\%$), la lettre « h » en anglais ($3{,}0\,\%$ contre $0{,}8\,\%$), et le « w », à $2{,}4\,\%$ en anglais, n'apparaît pas une seule fois dans le texte français.

Un texte aussi court ne donne que des tendances : sur des textes longs, les fréquences varient moins d'un texte à l'autre. Chaque langue a ainsi sa signature, que les codes secrets par décalage de lettres ne cachent pas.

9.5 La proportion de voyelles est une espérance

On tire une lettre au hasard, et on pose $Z = 1$ si c'est une voyelle, et $Z = 0$ sinon, en comptant le « y » parmi les voyelles. Comme à l'exemple 33, l'espérance de $Z$ est la probabilité d'obtenir une voyelle : c'est la proportion de voyelles du texte. On réutilise la fonction de la leçon 8, les valeurs étant $0$ ou $1$ et les probabilités étant les fréquences.

valeurs = [1 if lettre in "aeiouy" else 0 for lettre in alphabet]
print(esperance(valeurs, frequences(texte_fr)))

Exemple 41. On obtient environ $0{,}44$ en français et $0{,}41$ en anglais.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Variable aléatoire : une fonction définie sur l'univers, à valeurs réelles. À chaque issue, elle associe un nombre.
2. Notations : $\{X = a\}$ et $\{X \leq a\}$ sont des évènements. « Au plus » s'écrit $\leq$, « au moins » s'écrit $\geq$, et le contraire de $\{X \leq a\}$ est $\{X > a\}$.
3. Loi de probabilité : les valeurs $x_i$ et les probabilités $p_i$, de somme $1$.
4. Espérance : $E(X) = p_1 x_1 + \cdots + p_n x_n$, la valeur moyenne de $X$. Dans une population tirée au sort, c'est la moyenne.
5. Variance et écart type : $V(X) = p_1\big(x_1 - E(X)\big)^2 + \cdots + p_n\big(x_n - E(X)\big)^2$ et $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. L'écart type mesure la dispersion, dans l'unité de $X$.
6. Linéarité : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$.
7. König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
8. Jeu équitable : l'espérance du gain net est nulle, c'est-à-dire que la mise est égale à l'espérance de la somme reçue.
9. Python : deux listes pour une loi ; un texte se traite comme une population de lettres.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 12 (PDF, avec son corrigé).