Trois probabilités à distinguer, faux positifs

5.1 Une case, trois dénominateurs

$P(A \cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ utilisent le même numérateur, mais pas le même dénominateur.

Exemple 13. Au camping (exemple 7), la case $120$ donne trois nombres différents :

• $P(F \cap T) = \dfrac{120}{400} = 0{,}3$, sur toute la population ;
• $P_F(T) = \dfrac{120}{300} = 0{,}4$, à l'intérieur de la ligne France ;
• $P_T(F) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6$, à l'intérieur de la colonne Tente.

5.2 De la phrase au symbole

Automatisme. Sur quel groupe le pourcentage est-il calculé ? Si c'est toute la population, il n'y a pas d'indice. Sinon, ce groupe va en indice.

5.3 Un test de dépistage

Exemple 14. Dans une population, $1\,\%$ des personnes ont une certaine maladie. Un test est positif pour $99\,\%$ des malades et pour $5\,\%$ des personnes non malades. On note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « son test est positif ». Ainsi $P(M) = 0{,}01$, $P_M(T) = 0{,}99$ et $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}05$.

Imaginons $10\,000$ personnes. Il y a $100$ malades, dont $99$ ont un test positif ; il y a $9\,900$ personnes non malades, dont $0{,}05 \times 9\,900 = 495$ ont un test positif.

	Test positif	Test négatif	Total
Malades	$99$	$1$	$100$
Non malades	$495$	$9\,405$	$9\,900$
Total	$594$	$9\,406$	$10\,000$

Une personne a un test positif. La probabilité qu'elle soit malade est $P_T(M) = \frac{99}{594} = \frac16 \approx 17\,\%.$

Ce n'est pas $99\,\%$ : $P_M(T)$ et $P_T(M)$ répondent à deux questions différentes. Inverser le « sachant », c'est changer de question. La maladie étant rare, les personnes non malades sont si nombreuses que $5\,\%$ d'entre elles dépassent les malades : $495$ contre $99$. Le test n'est pas mauvais pour autant, car il fait passer le risque de $1\,\%$ à environ $17\,\%$. Mais un test positif ne suffit pas pour conclure.

5.4 Vocabulaire des tests

5.5 Un peu d'histoire

Les probabilités conditionnelles apparaissent dans des travaux de Bayes et de Moivre, écrits en anglais au XVIIIe siècle, même si c'est Laplace qui en a élaboré la notion. Elles sont partout dans la vie courante, et leur utilisation inappropriée mène facilement à de fausses affirmations.