Devoir sur 20 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Pour les questions 3 à 5, on choisit au hasard un individu dans la population du tableau suivant.

	$B$	$\overline{B}$	Total
$A$	$12$	$18$	$30$
$\overline{A}$	$8$	$12$	$20$
Total	$20$	$30$	$50$

Une expérience a trois issues, de probabilités $0{,}2$ , $0{,}5$ et $x$ . Donner $x$ .
Si $P(C) = 0{,}35$ , donner $P\left(\overline{C}\right)$ .
Donner $P_A(B)$ .
Donner $P_B(A)$ .
Donner $P(A \cap B)$ .
Sur un arbre, $P(E) = 0{,}2$ et $P_E(F) = 0{,}5$ . Donner $P(E \cap F)$ .

Exercice 1 (7 points)

Dans un parc d'attractions, $25\,\%$ des visiteurs achètent un pass rapide. Parmi eux, $80\,\%$ montent dans le grand huit. Parmi les autres visiteurs, $40\,\%$ y montent. On choisit un visiteur au hasard. On note $A$ : « il achète un pass rapide » et $G$ : « il monte dans le grand huit ».

Traduire les données par des probabilités, puis dessiner un arbre pondéré complet. (1,5 point)
Calculer $P(A \cap G)$ . (1 point)
Montrer que $P(G) = 0{,}5$ . (1,5 point)
Un visiteur est monté dans le grand huit. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un pass rapide ? (1 point)
Les évènements $A$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier. (1 point)
Le parc écrit : « $80\,\%$ des visiteurs du grand huit ont un pass rapide. » Expliquer pourquoi cette phrase est fausse, et la corriger. (1 point)

Exercice 2 (5 points)

Dans une course d'orientation, une concurrente doit trouver trois balises. Elle trouve chaque balise avec la probabilité $0{,}8$ , et on suppose les recherches indépendantes.

Expliquer pourquoi cette situation est une répétition d'épreuves de Bernoulli, puis dessiner l'arbre. (1 point)
Calculer la probabilité qu'elle trouve les trois balises. (1 point)
Calculer la probabilité qu'elle en trouve exactement deux. (1 point)
Calculer la probabilité qu'elle en trouve au moins une. (1 point)
Une autre concurrente cherche une balise de son côté, indépendamment de la première. La première la trouve avec la probabilité $0{,}8$ , la seconde avec la probabilité $0{,}5$ . Calculer la probabilité qu'au moins l'une des deux la trouve. (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $x = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$ .
(1 pt) $P\left(\overline{C}\right) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65$ .
(1 pt) $P_A(B) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4$ .
(1 pt) $P_B(A) = \dfrac{12}{20} = 0{,}6$ .
(1 pt) $P(A \cap B) = \dfrac{12}{50} = 0{,}24$ .
(1 pt) $P(E \cap F) = 0{,}2 \times 0{,}5 = 0{,}1$ .

Exercice 1

1. (1,5 pt) On a $P(A) = 0{,}25$ , $P_A(G) = 0{,}8$ et $P_{\overline{A}}(G) = 0{,}4$ . Au premier niveau, $A$ porte $0{,}25$ et $\overline{A}$ porte $0{,}75$ . Depuis $A$ , $G$ porte $0{,}8$ et $\overline{G}$ porte $0{,}2$ . Depuis $\overline{A}$ , $G$ porte $0{,}4$ et $\overline{G}$ porte $0{,}6$ .

2. (1 pt) $P(A \cap G) = P(A) \times P_A(G) = 0{,}25 \times 0{,}8 = 0{,}2$ .

3. (1,5 pt) $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, $P(G) = 0{,}25 \times 0{,}8 + 0{,}75 \times 0{,}4 = 0{,}2 + 0{,}3 = 0{,}5$ .

4. (1 pt) On cherche $P_G(A) = \dfrac{P(A \cap G)}{P(G)} = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$ .

5. (1 pt) On a $P(A) \times P(G) = 0{,}25 \times 0{,}5 = 0{,}125$ , alors que $P(A \cap G) = 0{,}2$ . Les évènements $A$ et $G$ ne sont donc pas indépendants.

6. (1 pt) La phrase écrit $P_G(A) = 0{,}8$ , alors que c'est $P_A(G)$ qui vaut $0{,}8$ . Il faut écrire : « $80\,\%$ des visiteurs qui ont un pass rapide montent dans le grand huit », ou bien : « $40\,\%$ des visiteurs du grand huit ont un pass rapide ».

Exercice 2

1. (1 pt) Chaque recherche a deux issues, trouver la balise ou non. Les trois recherches sont identiques et indépendantes : c'est une répétition d'épreuves de Bernoulli, avec $n = 3$ et $p = 0{,}8$ . L'arbre a trois niveaux et huit chemins ; chaque point porte $S$ avec $0{,}8$ et $\overline{S}$ avec $0{,}2$ .

2. (1 pt) Un seul chemin convient : $0{,}8^3 = 0{,}512$ .

3. (1 pt) Trois chemins conviennent, chacun de probabilité $0{,}8 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}128$ . La probabilité vaut $3 \times 0{,}128 = 0{,}384$ .

4. (1 pt) Le contraire est « elle n'en trouve aucune », de probabilité $0{,}2^3 = 0{,}008$ . La probabilité cherchée vaut $1 - 0{,}008 = 0{,}992$ .

5. (1 pt) Par indépendance, la probabilité que ni l'une ni l'autre ne la trouve vaut $0{,}2 \times 0{,}5 = 0{,}1$ . La probabilité cherchée vaut $1 - 0{,}1 = 0{,}9$ .

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : une phrase de conclusion à chaque question ; les mots justes (sachant, partition, indépendants, contraire) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit). La question 6 de l'exercice 1 est une question de langue autant que de mathématiques.