Arbres pondérés

4.1 Construire un arbre

Un arbre pondéré résume une expérience en plusieurs étapes. On le lit de gauche à droite.

1. Au premier niveau, les branches portent des probabilités, comme $P(C)$.
2. Au second niveau, elles portent des probabilités conditionnelles : une branche porte la probabilité sachant le point d'où elle part.
3. La somme des probabilités des branches issues d'un même point vaut $1$.

Exemple 12 (une auto-école). Dans une auto-école, $60\,\%$ des élèves suivent la conduite accompagnée. Parmi eux, $80\,\%$ obtiennent le permis du premier coup ; parmi les autres, $50\,\%$. On choisit un élève au hasard. On note $C$ : « il suit la conduite accompagnée » et $R$ : « il réussit du premier coup ». Le mot « parmi » annonce une probabilité conditionnelle : $P(C) = 0{,}6$, $P_C(R) = 0{,}8$ et $P_{\overline{C}}(R) = 0{,}5$. On complète avec des différences à $1$ :

Premier niveau	Second niveau	Chemin	Probabilité du chemin
$C$ : $0{,}6$	$R$ : $0{,}8$	$C \cap R$	$0{,}6 \times 0{,}8 = 0{,}48$
$C$ : $0{,}6$	$\overline{R}$ : $0{,}2$	$C \cap \overline{R}$	$0{,}6 \times 0{,}2 = 0{,}12$
$\overline{C}$ : $0{,}4$	$R$ : $0{,}5$	$\overline{C} \cap R$	$0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$
$\overline{C}$ : $0{,}4$	$\overline{R}$ : $0{,}5$	$\overline{C} \cap \overline{R}$	$0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$

4.2 Règle du produit

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. Ce n'est pas une règle nouvelle : c'est la formule du produit de la leçon 3, $P(C \cap R) = P(C) \times P_C(R)$.

La somme des probabilités de tous les chemins vaut $1$ : c'est un contrôle à faire à chaque fois. Dans l'exemple 12, $0{,}48 + 0{,}12 + 0{,}2 + 0{,}2 = 1$.

4.3 Règle de la somme

La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent, car ces chemins sont incompatibles.

Exemple 12 (suite). L'évènement $R$ se réalise par deux chemins : $P(R) = 0{,}48 + 0{,}2 = 0{,}68$. Un élève a $68\,\%$ de chances de réussir du premier coup.

4.4 Trois lectures d'un arbre

L'arbre ne donne pas directement $P_R(C)$ : on revient à la définition, $P_R(C) = \dfrac{0{,}48}{0{,}68} = \dfrac{12}{17}$.

Automatisme. Une branche du second niveau, c'est un « sachant ». Un bout de chemin, c'est un « et ».