Lien avec les suites géométriques

7.1 La suite de terme général $\mathrm{e}^{na}$

Propriété. Pour tout réel $a$, la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \mathrm{e}^{na}$ est géométrique, de raison $\mathrm{e}^a$ et de premier terme $u_0 = 1$.

En effet, pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} = \mathrm{e}^{(n + 1)a} = \mathrm{e}^{na} \times \mathrm{e}^a = u_n \times \mathrm{e}^a.$ On peut aussi écrire $u_n = \left(\mathrm{e}^a\right)^n$.

7.2 Sur la courbe

Exemple 21. Pour des abscisses espacées de $0{,}5$, chaque ordonnée s'obtient en multipliant la précédente par $\mathrm{e}^{0{,}5} \approx 1{,}65$.

$x$	$0$	$0{,}5$	$1$	$1{,}5$	$2$
$\mathrm{e}^x$ (valeur approchée)	$1$	$1{,}65$	$2{,}72$	$4{,}48$	$7{,}39$

Ajouter un même nombre à l'abscisse revient à multiplier l'ordonnée par un même nombre.

7.3 Sens de variation

Exemple 22. Pour $a = -1$ : $u_0 = 1$, $u_1 \approx 0{,}37$, $u_2 \approx 0{,}14$, $u_3 \approx 0{,}05$. Les termes semblent se rapprocher de $0$.

7.4 Un capital, en temps discret

Exemple 23. On place $1000$ euros à $3\,\%$ par an, avec des intérêts versés une fois par an. Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}03$. Au bout de $n$ années, il vaut $u_n = 1000 \times 1{,}03^n.$ C'est une suite géométrique : le temps avance par sauts. On obtient $u_{10} \approx 1344$ euros.

7.5 Le même capital, en temps continu

Exemple 24. Imaginons des intérêts versés en continu : à chaque instant, le capital grandit à une vitesse égale à $3\,\%$ de sa valeur. On a $f' = 0{,}03\,f$ et $f(t) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}03t},$ où $t$ est un réel positif. Pour tout $n$ entier, $f(n + 1) = f(n) \times \mathrm{e}^{0{,}03}$, avec $\mathrm{e}^{0{,}03} \approx 1{,}0305$ : aux instants entiers, on retrouve une suite géométrique. Et $f(10) = 1000\,\mathrm{e}^{0{,}3} \approx 1350$ euros. Les deux modèles sont très proches.

7.6 Discret et continu

Les deux modèles sont reliés par $q = \mathrm{e}^k$. À partir de $k$, on calcule $q$. L'inverse, retrouver $k$ à partir de $q$, demandera un outil de Terminale.

7.7 Un peu d'histoire

La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVIIe siècle. On cherche alors à traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait apparaitre naturellement la caractérisation de ce chapitre : la seule fonction telle que $y' = y$ et $y(0) = 1$.