Signe, sens de variation et courbe

5.1 Signe

Propriété. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x > 0$.

En effet, $\mathrm{e}^x = \left(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}\right)^2$ : c'est un carré, donc il est positif ou nul. Et il n'est pas nul, car l'exponentielle ne s'annule jamais.

5.2 Sens de variation

Propriété. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

En effet, sa dérivée est elle-même, et elle est strictement positive.

Les deux extrémités du tableau restent vides : le comportement à l'infini sera étudié en Terminale.

5.3 Courbe

La courbe de la fonction exponentielle :

• passe par les points $(0\,;1)$ et $(1\,;\mathrm{e})$ ;
• reste au-dessus de l'axe des abscisses ; à gauche, elle s'en rapproche sans jamais le toucher ;
• monte de plus en plus vite à droite : $\mathrm{e}^{10} > 20\,000$ ;
• a pour tangente $y = x + 1$ au point d'abscisse $0$ ;
• a pour tangente $y = \mathrm{e}\,x$ au point d'abscisse $1$, qui passe par l'origine du repère. En effet, cette tangente a pour équation $y = \mathrm{e} + \mathrm{e}(x - 1) = \mathrm{e}\,x$.

5.4 Comparer deux exponentielles

La fonction étant strictement croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b, \qquad \mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b.$ En particulier, $\mathrm{e}^x = 1 \iff x = 0$, et $\mathrm{e}^x > 1 \iff x > 0$.

5.5 Résoudre

Exemple 14. $\mathrm{e}^{3x - 1} = \mathrm{e}^{x + 5} \iff 3x - 1 = x + 5 \iff x = 3$.

Exemple 15. Comme $1 = \mathrm{e}^0$, on a $\mathrm{e}^{2x - 6} \geq 1 \iff 2x - 6 \geq 0 \iff x \geq 3$.

Exemple 16. Résolvons $\mathrm{e}^{2x} + \mathrm{e}^x - 2 = 0$. On pose $X = \mathrm{e}^x$, et l'équation devient $X^2 + X - 2 = 0$, de racines $1$ et $-2$. L'équation $\mathrm{e}^x = 1$ donne $x = 0$. L'équation $\mathrm{e}^x = -2$ n'a pas de solution, car une exponentielle est strictement positive. La seule solution est $0$.

Attention. Une équation comme $\mathrm{e}^x = 2$ a bien une solution, mais nos outils ne permettent pas de l'écrire exactement. On utilise alors une valeur approchée donnée (leçon 8).

5.6 Une inégalité à connaitre

Propriété. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x \geq x + 1$. La courbe reste au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$.

Pourquoi ? Soit $\varphi(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$. Alors $\varphi'(x) = \mathrm{e}^x - 1$. La fonction exponentielle est strictement croissante et vaut $1$ en $0$ : $\varphi'(x)$ est négatif avant $0$ et positif après.

Le minimum de $\varphi$ vaut $\varphi(0) = 0$. Donc $\varphi(x) \geq 0$ pour tout réel $x$.

5.7 Une étude complète

Exemple 17. Soit $f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$. C'est un produit : $f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^x + (x - 1)\mathrm{e}^x = x\mathrm{e}^x.$ Comme $\mathrm{e}^x > 0$, $f'(x)$ a le signe de $x$.

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f$		décroissante	$-1$	croissante

Le minimum de $f$ vaut $f(0) = -1$.

Automatisme. Dans une dérivée, on met $\mathrm{e}^x$ en facteur : ce facteur est strictement positif, et le signe se lit sur ce qui reste.