Devoir sur 20 : Fonction exponentielle

Devoir d'une heure, noté sur 20 points, sans calculatrice, construit comme l'épreuve anticipée : 6 points d'automatismes, 12 points d'exercices, 2 points de maîtrise de la langue. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Partie 1 : automatismes (6 points)

Réponses courtes, sans justification. Chaque question vaut 1 point.

Écrire $\mathrm{e}^3 \times \mathrm{e}^{-1}$ sous la forme $\mathrm{e}^n$ .
Simplifier $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^x}$ .
Résoudre $\mathrm{e}^x = 1$ .
Dériver $f(t) = \mathrm{e}^{4t}$ .
Quel est le signe de $-2\mathrm{e}^x$ pour $x$ réel ?
Un prix augmente de $20\,\%$ , puis baisse de $20\,\%$ . Quel est le taux d'évolution global ?

Exercice 1 (7 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{-x}$ .

Résoudre l'équation $f(x) = 0$ , puis donner le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ . (1 point)
Calculer $f(0)$ . (0,5 point)
Montrer que $f'(x) = -x\mathrm{e}^{-x}$ . (1,5 point)
Dresser le tableau de variations de $f$ , sans valeur aux extrémités, et préciser son maximum. (1,5 point)
En déduire que, pour tout réel $x$ , $(x + 1)\mathrm{e}^{-x} \leq 1$ , puis que $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ . (1,5 point)
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ . (1 point)

Exercice 2 (5 points)

Une chanson sort sur une plateforme d'écoute. Le nombre d'écoutes par jour, en milliers, $t$ jours après la sortie, est modélisé par $E(t) = 20t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ , pour $t \geq 0$ .

On donne $\mathrm{e}^{-0{,}5} \approx 0{,}61$ , $\mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37$ et $\mathrm{e}^{-4} \approx 0{,}0183$ .

Calculer une valeur approchée de $E(1)$ et interpréter. (0,5 point)
Montrer que $E'(t) = (20 - 10t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ . (1,5 point)
Dresser le tableau de variations de $E$ sur $[0\,;+\infty[$ , sans valeur à droite. Calculer une valeur approchée de $E(2)$ . (1,5 point)
Quel jour le nombre d'écoutes est-il le plus élevé ? Combien y a-t-il alors d'écoutes ? (0,5 point)
Le modèle prévoit-il moins de $3000$ écoutes par jour au bout de $8$ jours ? (1 point)

Maîtrise de la langue (2 points)

La qualité de la rédaction est évaluée sur l'ensemble de la copie : orthographe, construction des phrases, vocabulaire mathématique, organisation du raisonnement.

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Partie 1 : automatismes

(1 pt) $\mathrm{e}^3 \times \mathrm{e}^{-1} = \mathrm{e}^2$ .
(1 pt) $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^x} = \mathrm{e}^x$ .
(1 pt) La solution est $0$ .
(1 pt) $f'(t) = 4\mathrm{e}^{4t}$ .
(1 pt) Strictement négatif.
(1 pt) $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ : le taux global est de $-4\,\%$ .

Exercice 1

1. (1 pt) Comme $\mathrm{e}^{-x} > 0$ , $f(x)$ a le signe de $x + 1$ . Donc $f(x) = 0$ si et seulement si $x = -1$ , $f(x) < 0$ pour $x < -1$ et $f(x) > 0$ pour $x > -1$ .

2. (0,5 pt) $f(0) = 1 \times \mathrm{e}^0 = 1$ .

3. (1,5 pt) $f$ est un produit, et la dérivée de $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est $x \mapsto -\mathrm{e}^{-x}$ . Donc $f'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{-x} + (x + 1) \times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right) = (1 - x - 1)\mathrm{e}^{-x} = -x\mathrm{e}^{-x}$ .

4. (1,5 pt) Comme $\mathrm{e}^{-x} > 0$ , $f'(x)$ a le signe de $-x$ .

$x$	$-\infty$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$		croissante	$1$	décroissante

Le maximum de $f$ vaut $f(0) = 1$ .

5. (1,5 pt) Le maximum de $f$ est $1$ , donc $(x + 1)\mathrm{e}^{-x} \leq 1$ pour tout réel $x$ . En multipliant par $\mathrm{e}^x$ , qui est strictement positif, on obtient $x + 1 \leq \mathrm{e}^x$ .

6. (1 pt) On a $f(1) = 2\mathrm{e}^{-1}$ et $f'(1) = -\mathrm{e}^{-1}$ . La tangente a pour équation $y = 2\mathrm{e}^{-1} - \mathrm{e}^{-1}(x - 1)$ , soit $y = \mathrm{e}^{-1}(3 - x)$ .

Exercice 2

1. (0,5 pt) $E(1) = 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5} \approx 20 \times 0{,}61 = 12{,}2$ . Le lendemain de la sortie, il y a environ $12\,200$ écoutes.

2. (1,5 pt) $E$ est un produit, et la dérivée de $t \mapsto \mathrm{e}^{-0{,}5t}$ est $t \mapsto -0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ . Donc $E'(t) = 20\,\mathrm{e}^{-0{,}5t} + 20t \times \left(-0{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}\right) = (20 - 10t)\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ .

3. (1,5 pt) Comme $\mathrm{e}^{-0{,}5t} > 0$ , $E'(t)$ a le signe de $20 - 10t$ , qui s'annule en $2$ .

$t$	$0$		$2$		$+\infty$
$E'(t)$		$+$	$0$	$-$
$E$	$0$	croissante	$40\,\mathrm{e}^{-1}$	décroissante

On a $E(2) = 40\,\mathrm{e}^{-1} \approx 40 \times 0{,}37 = 14{,}8$ .

4. (0,5 pt) Le nombre d'écoutes est le plus élevé $2$ jours après la sortie : il y a alors environ $14\,800$ écoutes.

5. (1 pt) $E(8) = 160\,\mathrm{e}^{-4} \approx 160 \times 0{,}0183 = 2{,}928$ . Le modèle prévoit environ $2928$ écoutes, donc moins de $3000$ écoutes par jour au bout de $8$ jours.

Maîtrise de la langue

(2 pts) La note de service de l'épreuve anticipée (11 septembre 2026, NOR MENE2622640N) consacre deux points sur vingt « à la maîtrise des normes orthographiques et syntaxiques ainsi qu'à la capacité à formuler un raisonnement et à utiliser un vocabulaire juste et adapté ». Son annexe observe quatre dimensions : l'orthographe, la syntaxe et la construction des phrases, le lexique, la mise en forme et l'organisation de la réflexion.

Dans ce devoir, on attend par exemple : la justification du signe de $f'(x)$ par la stricte positivité de l'exponentielle ; une phrase de conclusion à chaque question de l'exercice 2, avec l'unité ; les mots justes (dérivée, maximum, tangente, strictement positif) ; des connecteurs qui montrent le raisonnement (donc, or, comme, on en déduit).