Intersections

4.1 Une droite et un plan

Une droite $d$ et un plan $\mathcal{P}$ sont sécants (un seul point commun), strictement parallèles (aucun point commun), ou bien $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$ (chapitre 3).

Méthode. $d$ est donnée par une représentation paramétrique, $\mathcal{P}$ par une équation cartésienne. Un point de $d$ est dans $\mathcal{P}$ si ses coordonnées $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$ vérifient l'équation du plan. On remplace donc $x$, $y$, $z$ dans l'équation du plan : on obtient une équation du premier degré en $t$.

• Une seule solution $t_0$ : $d$ et $\mathcal{P}$ sont sécants, en le point de paramètre $t_0$.
• Aucune solution (on arrive à une égalité fausse, par exemple $-2 = 0$) : $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$.
• Tout réel est solution (on arrive à $0 = 0$) : $d$ est contenue dans $\mathcal{P}$.

Le coefficient de $t$ obtenu est exactement $\vec{u} \cdot \vec{n}$ : il est nul quand $d$ est parallèle à $\mathcal{P}$ (leçon 3).

Exemple 15 (dans le cube). La droite $(AG)$ : $x = t$, $y = t$, $z = t$, et le plan $(BDE) : x + y + z - 1 = 0$. On remplace : $t + t + t - 1 = 0$, donc $t = \frac13$. La droite coupe le plan au point $K\left(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\right)$, au tiers de la diagonale : c'est le point $K$ trouvé par une autre méthode au chapitre 3.

Exemple 16 (les trois cas). $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = -1 + t$, $z = 3 - t$, de vecteur directeur $\vec{u}\,(2\,;1\,;-1)$.

• $\mathcal{P}_1 : x + y + z - 9 = 0$. On remplace : $(1 + 2t) + (-1 + t) + (3 - t) - 9 = 2t - 6$. L'équation $2t - 6 = 0$ donne $t = 3$ : $d$ et $\mathcal{P}_1$ sont sécants en $I(7\,;2\,;0)$.
• $\mathcal{P}_2 : x - y + z - 7 = 0$. On obtient $(1 + 2t) - (-1 + t) + (3 - t) - 7 = -2$. L'équation $-2 = 0$ n'a aucune solution : $d$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}_2$.
• $\mathcal{P}_3 : x - y + z - 5 = 0$. On obtient $0 = 0$, vrai pour tout $t$ : $d$ est contenue dans $\mathcal{P}_3$.

Contrôle : avec $\vec{n}_2\,(1\,;-1\,;1)$, $\vec{u} \cdot \vec{n}_2 = 2 - 1 - 1 = 0$.

4.2 Deux droites

Deux droites sont coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires (chapitre 3).

Méthode. Soit $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et $d'$ de vecteur directeur $\vec{u}'$, avec des paramètres de noms différents, $t$ et $s$.

1. Si $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ sont colinéaires, les droites sont parallèles : confondues si un point de l'une est sur l'autre, strictement parallèles sinon.
2. Sinon, on cherche un point commun : on écrit l'égalité des trois coordonnées. On obtient un système de trois équations à deux inconnues $t$ et $s$. On résout deux équations, puis on vérifie la troisième :
   • si elle est vérifiée, les droites sont sécantes ;
   • sinon, elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires.

Exemple 17 (dans le cube). $(AG)$ : $x = t$, $y = t$, $z = t$ et $(BH)$ : $x = 1 - s$, $y = s$, $z = s$. Les vecteurs $(1\,;1\,;1)$ et $(-1\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires. Le système $\begin{cases} t = 1 - s \\ t = s \\ t = s \end{cases}$ donne $s = 1 - s$, donc $s = \frac12$ et $t = \frac12$ ; la troisième équation est vérifiée. Les diagonales se coupent au point $\Omega\left(\frac12\,;\frac12\,;\frac12\right)$, le centre du cube.

Avec $(BD)$ : $x = 1 - s$, $y = s$, $z = 0$, le système $t = 1 - s$, $t = s$, $t = 0$ donne $t = 0$ et $s = 0$ par les deux dernières équations, puis $0 = 1$ dans la première : impossible. Comme $(1\,;1\,;1)$ et $(-1\,;1\,;0)$ ne sont pas colinéaires, $(AG)$ et $(BD)$ sont non coplanaires.

Exemple 18. $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = -1 + t$, $z = 3 - t$.

• $d_1$ : $x = 1 + s$, $y = -4 + 2s$, $z = s$. Les vecteurs $(2\,;1\,;-1)$ et $(1\,;2\,;1)$ ne sont pas colinéaires. La première équation donne $s = 2t$ ; la troisième, $3 - t = 2t$, donne $t = 1$ et $s = 2$. Deuxième équation : $-1 + 1 = 0$ et $-4 + 4 = 0$, elle est vérifiée. Les droites sont sécantes en $(3\,;0\,;2)$.
• $d_2$ : $x = s$, $y = 1 + s$, $z = 1 + s$. La deuxième et la troisième équation donnent $-1 + t = 3 - t$, donc $t = 2$, puis $s = 0$. La première donnerait $1 + 4 = 0$ : impossible. Les vecteurs $(2\,;1\,;-1)$ et $(1\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires : $d$ et $d_2$ sont non coplanaires.

4.3 Deux plans

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires (leçon 3) ; sinon, ils sont sécants selon une droite. Pour aller plus loin (approfondissement du programme, non exigible) : l'intersection des plans $x + y + z - 9 = 0$ et $z = 0$ est l'ensemble des points tels que $z = 0$ et $x + y = 9$ ; en posant $x = t$, on obtient la droite $x = t$, $y = 9 - t$, $z = 0$.