Équation cartésienne d'un plan

2.1 Le théorème (démonstration du programme)

Au chapitre 9 : le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et normal au vecteur non nul $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$. Écrite avec des coordonnées, cette condition devient une équation.

Théorème. Dans un repère orthonormé, soit $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ un point et $\vec{n}\,(a\,;b\,;c)$ un vecteur non nul. Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et normal à $\vec{n}$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0,$ où $d$ est un réel : un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. On l'appelle une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.

Démonstration. Soit $M(x\,;y\,;z)$ un point de l'espace. Alors $\overrightarrow{AM}\,(x - x_A\,;\ y - y_A\,;\ z - z_A)$. Comme le repère est orthonormé, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées (chapitre 9) : $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = ax + by + cz - (a x_A + b y_A + c z_A).$ On pose $d = -(a x_A + b y_A + c z_A)$ : c'est un nombre fixé, qui ne dépend pas de $M$. Alors $M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff ax + by + cz + d = 0.$

Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ sont les coordonnées du vecteur normal. Le nombre $d$ se trouve en écrivant que $A$ vérifie l'équation.

2.2 Trouver une équation

Méthode. 1. On écrit $ax + by + cz + d = 0$ avec les coordonnées $(a\,;b\,;c)$ du vecteur normal. 2. On remplace $x$, $y$, $z$ par les coordonnées de $A$ pour trouver $d$. 3. On peut contrôler avec un autre point connu du plan.

Exemple 7. Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(2\,;-1\,;3)$ et il est normal à $\vec{n}\,(1\,;2\,;-2)$. Une équation est $x + 2y - 2z + d = 0$. Comme $A \in \mathcal{P}$ : $2 - 2 - 6 + d = 0$, donc $d = 6$, et $\mathcal{P} : x + 2y - 2z + 6 = 0.$ Le point $B(0\,;-3\,;0)$ est dans $\mathcal{P}$ : $0 - 6 - 0 + 6 = 0$. Le point $O$ n'y est pas : $0 + 0 - 0 + 6 = 6 \neq 0$.

Exemple 8. Le plan passant par l'origine $O$ et normal à $\vec{n}\,(3\,;-1\,;4)$ a pour équation $3x - y + 4z = 0$. En général, un plan passe par l'origine si et seulement si $d = 0$.

2.3 Une équation n'est pas unique

Si l'on multiplie une équation par un réel $k$ non nul, on obtient une autre équation du même plan : $x + 2y - 2z + 6 = 0$ et $2x + 4y - 4z + 12 = 0$ décrivent le même plan. On dit donc « une équation cartésienne ». On admet que deux équations d'un même plan sont toujours proportionnelles.

2.4 Plans particuliers : les faces du cube

Exemple 9. Dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ du cube :

• la face $ABCD$ est dans le plan normal à $\overrightarrow{AE}\,(0\,;0\,;1)$ passant par $A$ : son équation est $z = 0$. La face $EFGH$ a pour équation $z = 1$ ;
• les faces $ABFE$ et $DCGH$ : $y = 0$ et $y = 1$ ; les faces $ADHE$ et $BCGF$ : $x = 0$ et $x = 1$ ;
• au chapitre 9, on a montré que $\overrightarrow{AG}\,(1\,;1\,;1)$ est normal au plan $(BDE)$. Ce plan passe par $B(1\,;0\,;0)$, donc $x + y + z + d = 0$ avec $1 + d = 0$ : $(BDE) : x + y + z - 1 = 0.$ Contrôle : $D(0\,;1\,;0)$ et $E(0\,;0\,;1)$ vérifient l'équation.

Une équation où une coordonnée n'apparaît pas décrit aussi un plan : $z = 1$ s'écrit $0x + 0y + 1z - 1 = 0$, de vecteur normal $\vec{k}$.

2.5 Plan médiateur

Au chapitre 9 : le plan médiateur de $[AB]$ passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et il est normal à $\overrightarrow{AB}$.

Exemple 10. $A(1\,;2\,;-1)$ et $B(3\,;0\,;3)$. Le milieu de $[AB]$ est $I(2\,;1\,;1)$ et $\overrightarrow{AB}\,(2\,;-2\,;4)$. Le plan médiateur a une équation $2x - 2y + 4z + d = 0$, avec $4 - 2 + 4 + d = 0$, donc $d = -6$. En divisant par $2$ : $x - y + 2z - 3 = 0.$ Contrôle avec le point $M(3\,;2\,;1)$, dont on a vu au chapitre 9 qu'il est à égale distance de $A$ et de $B$ : $3 - 2 + 2 - 3 = 0$.