Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : encadrement et sens de variation

5.1 Suites majorées, minorées, bornées

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ($M$ est un majorant) ;
• minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ($m$ est un minorant) ;
• bornée si elle est à la fois majorée et minorée : $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$.

Une suite croissante est minorée par son premier terme $u_0$ ; une suite décroissante est majorée par $u_0$.

5.2 Représenter une suite récurrente

Pour une suite définie par $u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, on trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$.

1. On part de $u_0$ sur l'axe des abscisses et on monte jusqu'à la courbe : l'ordonnée lue est $u_1 = f(u_0)$.
2. On rejoint horizontalement la droite $y = x$ : le point obtenu a pour abscisse $u_1$, qu'on reporte sur l'axe des abscisses.
3. On recommence à partir de $u_1$.

Le dessin permet de conjecturer le comportement de la suite. Il ne le démontre pas : c'est le rôle de la récurrence.

5.3 La méthode : une récurrence double

Pour encadrer la suite et trouver son sens de variation en même temps, on démontre par récurrence une propriété du type $\mathcal{P}(n) : \quad a \leq u_n \leq u_{n+1} \leq b \qquad \text{(ou } a \leq u_{n+1} \leq u_n \leq b\text{)}.$ L'idée clé de l'hérédité : si $f$ est croissante sur $[a\,;b]$, alors pour $x$ et $y$ dans $[a\,;b]$, $x \leq y$ entraîne $f(x) \leq f(y)$. On peut donc appliquer $f$ à toute la chaîne d'inégalités sans changer leur sens : $a \leq u_n \leq u_{n+1} \leq b \;\Longrightarrow\; f(a) \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq f(b).$ Il reste à vérifier que $f(a) \geq a$ et $f(b) \leq b$.

Exemple 12. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 3$. On note $f(x) = \dfrac12 x + 3$.

On note $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$ ».

• Initialisation. $u_0 = 0$ et $u_1 = 3$ : on a bien $0 \leq 0 \leq 3 \leq 6$.
• Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. La fonction $f$ est affine de coefficient $\frac12 > 0$ : elle est croissante sur $\mathbb{R}$. En appliquant $f$ : $f(0) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) \leq f(6), \quad\text{soit}\quad 3 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6.$ Comme $0 \leq 3$, on obtient $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 6$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
• Conclusion. Pour tout $n$, $0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 6$.

La suite $(u_n)$ est donc croissante et bornée : $0 \leq u_n \leq 6$ pour tout $n$. Le nombre $6$ n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de $f(x) = x$, abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite $y = x$.

Exemple 13. Même fonction $f$, mais $u_0 = 10$. Alors $u_1 = 8$. On démontre de la même façon $\mathcal{P}(n)$ : « $6 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 10$ ».

• Initialisation. $6 \leq 8 \leq 10 \leq 10$.
• Hérédité. Si $6 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 10$, alors, $f$ étant croissante, $f(6) \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq f(10)$, soit $6 \leq u_{n+2} \leq u_{n+1} \leq 8 \leq 10$.

Cette fois, la suite est décroissante et minorée par $6$.

5.4 Ce qui décide du sens de variation

Dans les exemples 12 et 13, la fonction $f$ est la même et elle est croissante. Pourtant une suite croît et l'autre décroît : $f$ croissante ne veut pas dire $(u_n)$ croissante.

Intervalle stable. On dit qu'un intervalle $I$ est stable par $f$ si $f(x) \in I$ pour tout $x \in I$. Si $I$ est stable par $f$ et $u_0 \in I$, alors $u_n \in I$ pour tout $n$ (récurrence immédiate : si $u_n \in I$, alors $u_{n+1} = f(u_n) \in I$).

Propriété. Soit $f$ croissante sur un intervalle $I$ stable par $f$, et $u_0 \in I$.

• Si $u_0 \leq u_1$, la suite $(u_n)$ est croissante.
• Si $u_0 \geq u_1$, la suite $(u_n)$ est décroissante.

Démonstration (premier cas). On note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n \leq u_{n+1}$ ». $\mathcal{P}(0)$ est l'hypothèse $u_0 \leq u_1$. Si $u_n \leq u_{n+1}$, ces deux termes sont dans $I$ et $f$ y est croissante, donc $f(u_n) \leq f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2}$. Le second cas est identique, avec les inégalités dans l'autre sens.

Exemple 14. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. La fonction $f(x) = \sqrt{x + 6}$ est croissante sur $[-6\,;+\infty[$ (composée de $x \mapsto x + 6$ et de la racine carrée, toutes deux croissantes ; ou bien $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} > 0$).

On montre par récurrence $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$ ».

• Initialisation. $u_1 = \sqrt7 \approx 2{,}65$, et $1 \leq 1 \leq \sqrt7 \leq 3$ car $7 \leq 9$.
• Hérédité. Si $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$, alors $f(1) \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq f(3)$, soit $\sqrt7 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 3$, et $1 \leq \sqrt7$.

La suite est croissante et comprise entre $1$ et $3$. Ici aussi, $3$ vérifie $f(3) = \sqrt9 = 3$.

Attention, $f$ décroissante. Si $f$ est décroissante, la suite peut osciller sans être monotone. Avec $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = \dfrac{1}{1 + v_n}$, on obtient $0$, $1$, $\frac12$, $\frac23$, $\frac35$… : les termes montent et descendent tour à tour. On peut tout de même encadrer : si $0 \leq v_n \leq 1$, alors $1 \leq 1 + v_n \leq 2$, donc $\frac12 \leq v_{n+1} \leq 1$. Par récurrence, $0 \leq v_n \leq 1$ pour tout $n$.

Au chapitre 2, tu verras ce que ces encadrements permettent de dire sur la limite de la suite.