Devoir sur 20 : Récurrence et suites

Exercice 1

1. (3 pts) On note $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \times 2 + \cdots + n(n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ».

• (0,5 pt) Initialisation ($n = 1$) : $1 \times 2 = 2$ et $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$.
• (2 pts) Hérédité : supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n \geq 1$. On ajoute le terme suivant $(n+1)(n+2)$ et on factorise : $\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2)\left(\frac{n}{3} + 1\right) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3},$ qui est la formule au rang $n + 1$.
• (0,5 pt) Conclusion : la formule est vraie pour tout $n \geq 1$.

2. (2 pts)

• (0,5 pt) Initialisation : $5^0 - 1 = 0$, divisible par $4$.
• (1 pt) Hérédité : si $5^n - 1 = 4k$ avec $k$ entier, alors $5^{n+1} - 1 = 5(5^n - 1) + 4 = 20k + 4 = 4(5k + 1)$.
• (0,5 pt) Conclusion : pour tout $n$, $5^n - 1$ est divisible par $4$.

3. (1 pt) Non. Vérifier un nombre fini de cas ne démontre pas une propriété pour tous les entiers : par exemple, $n^2 - n + 41$ est premier pour $n$ de $0$ à $40$, mais pas pour $n = 41$. Il faut une démonstration, par exemple par récurrence.

Exercice 2

1. (1 pt) Garder $80\,\%$ des adhérents revient à multiplier par $0{,}8$, puis on ajoute les $120$ nouveaux : $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 120$. Puis $u_1 = 0{,}8 \times 300 + 120 = 360$ et $u_2 = 0{,}8 \times 360 + 120 = 408$.

2.a (1 pt) $f$ est affine de coefficient $0{,}8 > 0$ : elle est croissante sur $\mathbb{R}$. $f(300) = 360$ et $f(600) = 480 + 120 = 600$.

2.b (3 pts) On note $\mathcal{P}(n)$ : « $300 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 600$ ».

• (0,5 pt) Initialisation : $u_0 = 300$ et $u_1 = 360$, donc $300 \leq 300 \leq 360 \leq 600$.
• (2 pts) Hérédité : supposons $300 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 600$. Comme $f$ est croissante, $f(300) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) \leq f(600)$, c'est-à-dire $360 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} \leq 600$. Comme $300 \leq 360$, $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.
• (0,5 pt) Conclusion : pour tout $n$, $300 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 600$.

3. (1 pt) Pour tout $n$, $u_n \leq u_{n+1}$ : la suite est croissante. Et $u_n \leq 600$ pour tout $n$ : le nombre d'adhérents augmente mais ne dépasse jamais $600$.

4.a (2 pts) $v_{n+1} = 600 - u_{n+1} = 600 - 0{,}8\,u_n - 120 = 480 - 0{,}8\,u_n = 0{,}8\,(600 - u_n) = 0{,}8\,v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$, de premier terme $v_0 = 600 - 300 = 300$.

4.b (1 pt) Donc $v_n = 300 \times 0{,}8^n$, et $u_n = 600 - v_n = 600 - 300 \times 0{,}8^n$.

5. (1 pt) Le 1er septembre 2031 correspond à $n = 5$ : $u_5 = 600 - 300 \times 0{,}8^5 = 600 - 98{,}304 = 501{,}696$, soit environ $502$ adhérents.

6.a (1 pt) Avec $a = 0{,}25 > 0$, l'inégalité de Bernoulli donne $(1 + 0{,}25)^n \geq 1 + 0{,}25n$, soit $1{,}25^n \geq 1 + 0{,}25n$.

6.b (1,5 pt)

• (0,5 pt) $0{,}8 \times 1{,}25 = 1$, donc $0{,}8^n \times 1{,}25^n = 1$ et $0{,}8^n = \dfrac{1}{1{,}25^n}$.
• (1 pt) Alors $600 - u_n = 300 \times 0{,}8^n = \dfrac{300}{1{,}25^n}$, qui est strictement positif. Et comme $1{,}25^n \geq 1 + 0{,}25n > 0$, on a $\dfrac{300}{1{,}25^n} \leq \dfrac{300}{1 + 0{,}25n}$.

6.c (1,5 pt)

• (1 pt) $u_n \geq 590$ équivaut à $600 - u_n \leq 10$. Il suffit que $\dfrac{300}{1 + 0{,}25n} \leq 10$, c'est-à-dire $1 + 0{,}25n \geq 30$, soit $n \geq 116$. À partir du rang $116$, on est sûr que l'association compte au moins $590$ adhérents.
• (0,5 pt) À la calculatrice, $300 \times 0{,}8^{15} \approx 10{,}56 > 10$ et $300 \times 0{,}8^{16} \approx 8{,}44 \leq 10$ : c'est réellement le cas dès le rang $16$, c'est-à-dire en 2042. La minoration de Bernoulli est très grossière, mais elle suffit pour démontrer que le seuil finit par être atteint.