Limites et comparaison

6.1 Théorèmes de comparaison (admis)

Théorème. Soient $f$ et $g$ deux fonctions.

• Si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et si $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
• Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand et si $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = -\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.

Ces théorèmes sont admis : leur démonstration est la même que celle faite pour les suites au chapitre 2 (leçon 4). Ils restent vrais en $-\infty$ et en un réel $a$, en remplaçant « pour $x$ assez grand » par « pour $x$ inférieur à un certain réel » ou « pour $x$ assez proche de $a$ ».

Exemple 19. $f(x) = x + \cos x$. Comme $\cos x \geq -1$, $f(x) \geq x - 1$ pour tout réel $x$. Or $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - 1) = +\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} (x + \cos x) = +\infty$. La courbe ondule, mais elle reste au-dessus de la droite $y = x - 1$.

6.2 Le théorème des gendarmes (admis)

Théorème. Si, pour $x$ assez grand, $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$, et si $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = \lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = \ell$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$. Il reste vrai en $-\infty$ et en un réel.

Exemple 20. $f(x) = 2 + \dfrac{\sin x}{x}$ pour $x > 0$. Comme $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $x > 0$ : $2 - \frac1x \leq f(x) \leq 2 + \frac1x.$ Les deux fonctions encadrantes tendent vers $2$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 2$ : la droite $y = 2$ est asymptote horizontale.

La courbe coupe son asymptote en tous les points d'abscisse $k\pi$ ($k$ entier, $k \geq 1$), où $\sin x = 0$ : une infinité de fois. Ce n'est pas interdit.

Méthode. Les fonctions contenant $\cos x$ ou $\sin x$ se traitent souvent ainsi, avec $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.

Passage à la limite dans une inégalité (admis). Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand, et si $f$ et $g$ ont pour limites respectives $\ell$ et $\ell'$ en $+\infty$, alors $\ell \leq \ell'$. Comme pour les suites, les inégalités strictes deviennent larges.

6.3 Une inégalité utile : $\mathrm{e}^x \geq x + 1$

Propriété. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x \geq x + 1$.

Démonstration. Soit $g(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $g'(x) = \mathrm{e}^x - 1$.

• Si $x < 0$, $\mathrm{e}^x < \mathrm{e}^0 = 1$, donc $g'(x) < 0$ ; si $x > 0$, $g'(x) > 0$.
• $g$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ : son minimum est $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.

Donc $g(x) \geq 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^x \geq x + 1$.

Graphiquement, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de la droite $y = x + 1$, qui la touche au point $(0\,;1)$ : c'est sa tangente en ce point (le chapitre 5 reviendra sur cette position, avec la convexité).

Conséquence : une seconde démonstration de $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$. On a $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} (x + 1) = +\infty$ ; par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.