Limites de fonctions

Leçon 1 : Limite finie en l'infini, asymptote horizontale

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1.1 Un exemple : le coût moyen

Un atelier fabrique des bols en céramique. Fabriquer $x$ bols coûte $C(x) = 4x + 300$ euros : $300$ euros de frais fixes et $4$ euros par bol. Le coût moyen d'un bol est $m(x) = \frac{C(x)}{x} = 4 + \frac{300}{x} \qquad (x > 0).$

Plus on fabrique de bols, plus le coût moyen se rapproche de $4$ euros.

1.2 Définition en $+\infty$

Définition. La fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell.$

« Pour $x$ assez grand » signifie : pour tout $x$ de l'ensemble de définition supérieur à un certain réel $B$. Le réel $B$ dépend de l'intervalle choisi : plus l'intervalle est étroit, plus il faut aller loin. C'est la même définition que pour les suites (chapitre 2), le rang $N$ étant remplacé par le réel $B$.

Exemple 1 (le coût moyen). Prenons l'intervalle ouvert $]3{,}9\,;4{,}1[$, qui contient $4$.

• Pour tout $x > 0$, $\dfrac{300}{x} > 0$, donc $m(x) > 4 > 3{,}9$.
• $m(x) < 4{,}1 \iff \dfrac{300}{x} < 0{,}1 \iff x > 3\,000$.

Au-delà de $3\,000$ bols, le coût moyen est à moins de dix centimes de $4$ euros. Avec la bande $]3{,}5\,;4{,}5[$, il suffit que $x > 600$. Plus généralement, soit $r > 0$ : $m(x) \in\, ]4 - r\,;4 + r[$ dès que $\dfrac{300}{x} < r$, c'est-à-dire dès que $x > \dfrac{300}{r}$. Tout intervalle ouvert contenant $4$ contient un intervalle $]4 - r\,;4 + r[$, donc $\lim_{x\to+\infty} m(x) = 4.$

1.3 Définition en $-\infty$

Définition. La fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $-\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est inférieur à un certain réel. On note $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = \ell$.

Exemple 2 (fonction inverse). Soit $r > 0$. Si $x > \dfrac1r$, alors $0 < \dfrac1x < r$ ; si $x < -\dfrac1r$, alors $-r < \dfrac1x < 0$. Donc $\lim_{x\to+\infty} \frac1x = 0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty} \frac1x = 0.$ Par exemple, avec $r = 0{,}5$ : $-0{,}5 < \dfrac1x < 0{,}5$ dès que $x > 2$ ou $x < -2$.

1.4 Asymptote horizontale

Définition. Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, la droite d'équation $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$. De même en $-\infty$.

Graphiquement, la courbe se rapproche de cette droite quand $x$ devient grand (ou, en $-\infty$, quand $x$ devient négatif et grand en valeur absolue).

• Pour le coût moyen, la droite $y = 4$ est asymptote horizontale en $+\infty$.
• Pour $x \mapsto \dfrac1x$, l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Lien dans les deux sens (programme : « faire le lien entre l'existence d'une asymptote parallèle à un axe et celle de la limite correspondante »). Une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne l'asymptote $y = \ell$ ; réciproquement, si on lit sur un graphique une asymptote horizontale d'équation $y = \ell$ en $+\infty$, on en déduit $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$.

1.5 Position de la courbe par rapport à l'asymptote

On étudie le signe de $f(x) - \ell$ :

• si $f(x) - \ell > 0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote ;
• si $f(x) - \ell < 0$, elle est au-dessous.

Exemple 3. $m(x) - 4 = \dfrac{300}{x} > 0$ pour $x > 0$ : la courbe du coût moyen est au-dessus de la droite $y = 4$. Le coût moyen reste toujours supérieur à $4$ euros, sans jamais l'atteindre.

Attention. Une courbe peut couper son asymptote, et même une infinité de fois (leçon 6, exemple 20).

Leçon 2 : Limites infinies, asymptote verticale

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Limite infinie en $+\infty$ ou en $-\infty$

Définition. La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.

De même :

• $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;A]$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand ;
• en $-\infty$, on remplace « pour $x$ assez grand » par « dès que $x$ est inférieur à un certain réel ».

Exemple 4 (racine carrée). $\sqrt{x} \geq 100$ dès que $x \geq 10\,000$. Plus généralement, pour tout réel $A > 0$, $\sqrt{x} \geq A$ dès que $x \geq A^2$ (la fonction racine carrée est croissante). Donc $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x} = +\infty,$ même si $\sqrt{x}$ grandit lentement.

Exemple 5. $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2 = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} x^3 = -\infty$ (leçon 3).

Une fonction n'a pas toujours de limite. La fonction cosinus oscille entre $-1$ et $1$ : elle prend la valeur $1$ en tous les $2k\pi$ et la valeur $-1$ en tous les $(2k + 1)\pi$, aussi loin qu'on aille. Elle n'a pas de limite en $+\infty$.

Écrire la négation (partie « vocabulaire et logique »). « $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ » s'écrit : pour tout réel $A$, il existe un réel $B$ tel que, pour tout $x > B$, $f(x) \geq A$. Sa négation est :

il existe un réel $A$ tel que, pour tout réel $B$, il existe un réel $x > B$ avec $f(x) < A$.

Pour la fonction cosinus, $A = 2$ convient : $\cos x < 2$ pour tout réel $x$.

2.2 Limite infinie en un réel

Définition. Soit $a$ un réel (qui est dans l'ensemble de définition de $f$, ou qui en est une borne). La fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ si tout intervalle $[A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$ ($x \neq a$). On note $\lim\limits_{x\to a} f(x) = +\infty$. On définit de même $\lim\limits_{x\to a} f(x) = -\infty$.

« Pour $x$ assez proche de $a$ » signifie : pour tout $x$ de l'ensemble de définition, différent de $a$, dans un intervalle $]a - h\,;a + h[$ avec $h > 0$.

Exemple 6. $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, définie pour $x \neq 0$.

• $\dfrac{1}{x^2} \geq 10\,000 \iff x^2 \leq 0{,}0001 \iff -0{,}01 \leq x \leq 0{,}01$ (avec $x \neq 0$).
• Avec $A = 4$ : $\dfrac{1}{x^2} \geq 4$ dès que $-0{,}5 \leq x \leq 0{,}5$, $x \neq 0$.
• Pour tout $A > 0$ : $\dfrac{1}{x^2} \geq A$ dès que $0 < |x| \leq \dfrac{1}{\sqrt{A}}$.

Donc $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$.

2.3 Limite à gauche, limite à droite

Parfois, la limite dépend du côté par lequel $x$ s'approche de $a$.

• Limite à droite : $x$ tend vers $a$ en restant supérieur à $a$. On note $\lim\limits_{x\to a^+} f(x)$ ou $\lim\limits_{\substack{x\to a\\x>a}} f(x)$.
• Limite à gauche : $x$ tend vers $a$ en restant inférieur à $a$. On note $\lim\limits_{x\to a^-} f(x)$ ou $\lim\limits_{\substack{x\to a\\x<a}} f(x)$.

Exemple 7 (fonction inverse en $0$). $\lim_{x\to0^+} \frac1x = +\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to0^-} \frac1x = -\infty.$ En effet, pour tout $A > 0$ : si $0 < x \leq \dfrac1A$, alors $\dfrac1x \geq A$ ; si $-\dfrac1A \leq x < 0$, alors $\dfrac1x \leq -A$.

2.4 Asymptote verticale

Définition. Si $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ (éventuellement seulement à gauche ou seulement à droite), la droite d'équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$.

• Pour $x \mapsto \dfrac1x$ : l'axe des ordonnées ($x = 0$) est asymptote verticale, et l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.
• Pour $x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.

2.5 Lire un graphique

Exemple 8. Une fonction $f$, définie pour $x \neq 2$, a une courbe qui longe la droite verticale $x = 2$ (vers le haut à droite de $2$, vers le bas à gauche) et qui se rapproche de la droite $y = 1$ des deux côtés. On lit : $\lim_{x\to2^+} f(x) = +\infty,\quad \lim_{x\to2^-} f(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} f(x) = 1.$ Les droites $x = 2$ et $y = 1$ sont asymptotes à la courbe. (La courbe de la vidéo est celle de $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x-2}$.)

Leçon 3 : Limites des fonctions de référence

Voir la vidéo de la leçon 3

Le programme cite les « fonctions de référence étudiées en classe de première : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle ». Dans toute la leçon, $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.

3.1 Les puissances $x^n$

Pourquoi $x^n \to +\infty$ en $+\infty$ ? Pour $x \geq 1$, $x^{n-1} \geq 1$, donc $x^n \geq x$. Soit $A \geq 1$ : dès que $x \geq A$, $x^n \geq x \geq A$.

En $-\infty$. $x^n = (-1)^n(-x)^n$ et $-x \to +\infty$ : on obtient $+\infty$ si $n$ est pair, $-\infty$ si $n$ est impair.

3.2 Les inverses des puissances et la racine carrée

Asymptotes : la courbe de $x \mapsto \dfrac{1}{x^n}$ a pour asymptotes l'axe des ordonnées et l'axe des abscisses ; celle de $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ aussi (asymptote verticale à droite de $0$, horizontale en $+\infty$).

3.3 La fonction exponentielle

Théorème (démonstration du programme). $\lim_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0.$ L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$.

Rappels de Première. La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; $\mathrm{e} = \mathrm{e}^1 \approx 2{,}72$ ; pour tout réel $a$, la suite $(\mathrm{e}^{na})$ est géométrique de raison $\mathrm{e}^a$.

Démonstration en $+\infty$.

1. La suite $(\mathrm{e}^n)$ est géométrique de raison $\mathrm{e} > 1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{e}^n = +\infty$ (chapitre 2, limite de $q^n$).
2. Soit $A$ un réel. D'après la définition de cette limite, il existe un entier $N$ tel que $\mathrm{e}^N \geq A$.
3. La fonction exponentielle est croissante : pour tout $x \geq N$, $\mathrm{e}^x \geq \mathrm{e}^N \geq A$.
4. L'intervalle $[A\,;+\infty[$ contient donc toutes les valeurs $\mathrm{e}^x$ pour $x \geq N$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Démonstration en $-\infty$.

1. La suite $(\mathrm{e}^{-n})$ est géométrique de raison $\dfrac1{\mathrm{e}}$, et $0 < \dfrac1{\mathrm{e}} < 1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty} \mathrm{e}^{-n} = 0$.
2. Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $0$. Il contient un intervalle $]-r\,;r[$ avec $r > 0$. Comme $\mathrm{e}^{-n} \to 0$, il existe un entier $N$ tel que $\mathrm{e}^{-N} < r$.
3. Pour tout $x \leq -N$, l'exponentielle étant positive et croissante : $0 < \mathrm{e}^x \leq \mathrm{e}^{-N} < r$, donc $\mathrm{e}^x \in\, ]-r\,;r[ \;\subset I$.
4. $I$ contient toutes les valeurs $\mathrm{e}^x$ pour $x \leq -N$ : $\lim\limits_{x\to-\infty} \mathrm{e}^x = 0$.

Une seconde démonstration de la limite en $+\infty$, par comparaison, est donnée à la leçon 6.

Exemple 9 (valeurs). $\mathrm{e}^{10} \approx 22\,026$ et $\mathrm{e}^{-10} \approx 0{,}000\,045$ : l'exponentielle grandit très vite en $+\infty$ et s'écrase très vite vers $0$ en $-\infty$.

3.4 Limite finie en un réel

Définition. Soit $a$ un réel (dans l'ensemble de définition de $f$, ou qui en est une borne). La fonction $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez proche de $a$. On note $\lim\limits_{x\to a} f(x) = \ell$.

Propriété (admise). Si $f$ est une fonction de référence (ou une fonction construite à partir d'elles par opérations) définie en un réel $a$, alors $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$. Pour la racine carrée en $0$, il s'agit de la limite à droite.

Exemple 10. $\lim\limits_{x\to3} x^2 = 9$ ; $\quad\lim\limits_{x\to4} \sqrt{x} = 2$ ; $\quad\lim\limits_{x\to0} \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^0 = 1$ ; $\quad\lim\limits_{x\to-1} \dfrac{1}{x^2} = 1$.

Cette propriété est celle des fonctions continues : elle sera reprise au chapitre 7.

Leçon 4 : Opérations sur les limites

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Les règles

Le programme précise : « Les opérations sur les limites sont admises. » Les règles sont les mêmes que pour les suites (chapitre 2, leçon 3), quand $x$ tend vers $+\infty$, vers $-\infty$ ou vers un réel $a$ (éventuellement à gauche ou à droite). $\ell$ et $\ell'$ désignent des réels ; « FI » signifie forme indéterminée.

Somme.

Produit.

Quotient.

Les quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$, $\;0 \times \infty$, $\;\dfrac{\infty}{\infty}$, $\;\dfrac00$. Face à l'une d'elles, il faut transformer l'écriture.

Notation. On écrit $0^+$ (ou $0^-$) pour une quantité qui tend vers $0$ en restant positive (ou négative). Par exemple, $\dfrac{7}{0^+}$ résume « un numérateur qui tend vers $7$ divisé par un dénominateur qui tend vers $0$ en restant positif » : le quotient tend vers $+\infty$.

4.2 Le terme prépondérant

Le programme demande de savoir utiliser « la factorisation du terme prépondérant dans une somme ». En l'infini, on factorise par le terme qui « l'emporte ».

Exemple 11 (polynôme). $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 1$. En $+\infty$, c'est une forme $\infty - \infty$. Pour $x \neq 0$ : $P(x) = x^3\left(-2 + \frac5x - \frac{1}{x^3}\right).$ La parenthèse tend vers $-2$ (leçon 3 : $\frac5x \to 0$ et $\frac1{x^3} \to 0$).

• En $+\infty$ : $x^3 \to +\infty$, donc par produit $\lim\limits_{x\to+\infty} P(x) = -\infty$.
• En $-\infty$ : $x^3 \to -\infty$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty} P(x) = +\infty$.

Règle. En $+\infty$ et en $-\infty$, un polynôme (non nul) a la même limite que son terme de plus haut degré.

Exemple 12 (quotient en l'infini). $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$, définie pour $x \neq 3$. En $+\infty$, forme $\frac{\infty}{\infty}$. Pour $x \neq 0$ et $x \neq 3$ : $f(x) = \frac{x\left(2 + \frac1x\right)}{x\left(1 - \frac3x\right)} = \frac{2 + \frac1x}{1 - \frac3x}.$ Le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 2$. Le calcul est le même en $-\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = 2$. La droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

4.3 Un dénominateur qui tend vers $0$

Exemple 12 (suite) : limite en $3$. Le numérateur $2x + 1$ tend vers $7$ et le dénominateur $x - 3$ tend vers $0$. Son signe :

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$x - 3$		$-$	$0$	$+$

• À droite de $3$ ($x > 3$) : forme $\frac{7}{0^+}$, donc $\lim\limits_{x\to3^+} f(x) = +\infty$.
• À gauche de $3$ ($x < 3$) : forme $\frac{7}{0^-}$, donc $\lim\limits_{x\to3^-} f(x) = -\infty$.

La droite $x = 3$ est asymptote verticale. On peut aussi écrire $f(x) = 2 + \dfrac{7}{x-3}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote $y = 2$ pour $x > 3$ et au-dessous pour $x < 3$.

Exemple 13 (forme $\frac00$ en un réel). $g(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$, en $3$ : numérateur et dénominateur tendent vers $0$. On factorise $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, et pour $x \neq 3$, $g(x) = x + 3$. Donc $\lim\limits_{x\to3} g(x) = 6$. La limite est finie : pas d'asymptote verticale. La courbe de $g$ est la droite $y = x + 3$ privée du point $(3\,;6)$.

Méthode. Quand un dénominateur tend vers $0$ en $a$ :

• si le numérateur tend vers un réel non nul, on étudie le signe du dénominateur : limites infinies à gauche et à droite, asymptote verticale $x = a$ ;
• si le numérateur tend aussi vers $0$ (forme $\frac00$), on factorise pour simplifier.

4.4 Avec l'exponentielle

Exemple 14. En $+\infty$, $\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x$ est une forme $\infty - \infty$. Comme $\mathrm{e}^{2x} = \left(\mathrm{e}^x\right)^2$ : $\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x = \mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^x - 1\right).$ Les deux facteurs tendent vers $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty} \left(\mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x\right) = +\infty$.

À noter. $\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$ ; par quotient, $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x} = 0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty} \mathrm{e}^{-x} = +\infty$. Par exemple, $\dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{\mathrm{e}^x + 1} = \dfrac{1 - \mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$ tend vers $1$ en $+\infty$ (exercice 7).

Leçon 5 : Composition des limites

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Le programme précise : « L'utilisation de la composition des limites se fait en contexte. » On l'utilise donc sur des exemples, sans théorie générale.

5.1 Le principe (admis)

Une fonction de la forme $x \mapsto v\big(u(x)\big)$ s'obtient en appliquant $u$, puis $v$. (On la notera $v \circ u$ au chapitre 5.)

Propriété (admise). Soient $a$, $b$, $c$ des réels, $+\infty$ ou $-\infty$. Si $\lim\limits_{x\to a} u(x) = b$ et $\lim\limits_{X\to b} v(X) = c$, alors $\lim_{x\to a} v\big(u(x)\big) = c.$

Méthode. On pose $X = u(x)$ ; on cherche la limite de $X$, puis celle de $v(X)$.

5.2 Exemples

Exemple 15. $\mathrm{e}^{-x^2}$ en $+\infty$. On pose $X = -x^2$. Quand $x \to +\infty$, $X \to -\infty$, et $\lim\limits_{X\to-\infty} \mathrm{e}^X = 0$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} = 0$. De même en $-\infty$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale des deux côtés.

Exemple 16. $h(x) = \sqrt{\dfrac{4x+1}{x+2}}$ en $+\infty$. On pose $X = \dfrac{4x+1}{x+2} = \dfrac{4 + \frac1x}{1 + \frac2x}$ (pour $x > 0$), qui tend vers $4$. Et $\lim\limits_{X\to4} \sqrt{X} = \sqrt4 = 2$. Donc $\lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = 2$.

Exemple 17. $\mathrm{e}^{1/x}$, définie pour $x \neq 0$.

• En $+\infty$ : $\dfrac1x \to 0$ et $\lim\limits_{X\to0} \mathrm{e}^X = \mathrm{e}^0 = 1$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^{1/x} = 1$ (asymptote $y = 1$). De même en $-\infty$.
• À droite de $0$ : $\dfrac1x \to +\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^+} \mathrm{e}^{1/x} = +\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
• À gauche de $0$ : $\dfrac1x \to -\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^-} \mathrm{e}^{1/x} = 0$.

5.3 Une tasse de thé qui refroidit

Une tasse de thé à $90$ degrés est posée dans une pièce à $20$ degrés. Sa température, en degrés, au bout de $t$ minutes est $T(t) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} \qquad (t \geq 0).$

• $T(0) = 90$ ; $T(10) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-1} \approx 45{,}8$ ; $T(30) = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-3} \approx 23{,}5$.
• Quand $t \to +\infty$, $-0{,}1t \to -\infty$, donc $\mathrm{e}^{-0{,}1t} \to 0$ et $\lim\limits_{t\to+\infty} T(t) = 20$.
• $T(t) - 20 = 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1t} > 0$ : la température reste au-dessus de $20$ degrés.

Interprétation : le thé finit à la température de la pièce, sans jamais descendre en dessous. La droite $T = 20$ est asymptote horizontale.

5.4 Lien avec les suites

Propriété. Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = L$ ($L$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$), alors la suite définie par $u_n = f(n)$ vérifie $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = L$.

Justification. Si un intervalle contient $f(x)$ pour tout $x > B$, il contient en particulier $u_n = f(n)$ pour tout entier $n > B$.

Exemple 18. Les températures relevées chaque minute forment la suite $u_n = 20 + 70\,\mathrm{e}^{-0{,}1n}$, qui tend vers $20$. De même, $\sqrt{\dfrac{4n+1}{n+2}} \to 2$ (exemple 16).

Attention : la réciproque est fausse. Si $u_n = \cos(2\pi n)$, alors $u_n = 1$ pour tout $n$ et la suite tend vers $1$ ; pourtant, la fonction $x \mapsto \cos(2\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.

Leçon 6 : Limites et comparaison

Voir la vidéo de la leçon 6

6.1 Théorèmes de comparaison (admis)

Théorème. Soient $f$ et $g$ deux fonctions.

• Si $f(x) \geq g(x)$ pour $x$ assez grand et si $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$.
• Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand et si $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = -\infty$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = -\infty$.

Ces théorèmes sont admis : leur démonstration est la même que celle faite pour les suites au chapitre 2 (leçon 4). Ils restent vrais en $-\infty$ et en un réel $a$, en remplaçant « pour $x$ assez grand » par « pour $x$ inférieur à un certain réel » ou « pour $x$ assez proche de $a$ ».

Exemple 19. $f(x) = x + \cos x$. Comme $\cos x \geq -1$, $f(x) \geq x - 1$ pour tout réel $x$. Or $\lim\limits_{x\to+\infty} (x - 1) = +\infty$. Par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} (x + \cos x) = +\infty$. La courbe ondule, mais elle reste au-dessus de la droite $y = x - 1$.

6.2 Le théorème des gendarmes (admis)

Théorème. Si, pour $x$ assez grand, $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$, et si $\lim\limits_{x\to+\infty} g(x) = \lim\limits_{x\to+\infty} h(x) = \ell$, alors $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$. Il reste vrai en $-\infty$ et en un réel.

Exemple 20. $f(x) = 2 + \dfrac{\sin x}{x}$ pour $x > 0$. Comme $-1 \leq \sin x \leq 1$ et $x > 0$ : $2 - \frac1x \leq f(x) \leq 2 + \frac1x.$ Les deux fonctions encadrantes tendent vers $2$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 2$ : la droite $y = 2$ est asymptote horizontale.

La courbe coupe son asymptote en tous les points d'abscisse $k\pi$ ($k$ entier, $k \geq 1$), où $\sin x = 0$ : une infinité de fois. Ce n'est pas interdit.

Méthode. Les fonctions contenant $\cos x$ ou $\sin x$ se traitent souvent ainsi, avec $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$.

Passage à la limite dans une inégalité (admis). Si $f(x) \leq g(x)$ pour $x$ assez grand, et si $f$ et $g$ ont pour limites respectives $\ell$ et $\ell'$ en $+\infty$, alors $\ell \leq \ell'$. Comme pour les suites, les inégalités strictes deviennent larges.

6.3 Une inégalité utile : $\mathrm{e}^x \geq x + 1$

Propriété. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x \geq x + 1$.

Démonstration. Soit $g(x) = \mathrm{e}^x - x - 1$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée est $g'(x) = \mathrm{e}^x - 1$.

• Si $x < 0$, $\mathrm{e}^x < \mathrm{e}^0 = 1$, donc $g'(x) < 0$ ; si $x > 0$, $g'(x) > 0$.
• $g$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ : son minimum est $g(0) = 1 - 0 - 1 = 0$.

Donc $g(x) \geq 0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^x \geq x + 1$.

Graphiquement, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de la droite $y = x + 1$, qui la touche au point $(0\,;1)$ : c'est sa tangente en ce point (le chapitre 5 reviendra sur cette position, avec la convexité).

Conséquence : une seconde démonstration de $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$. On a $\mathrm{e}^x \geq x + 1$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} (x + 1) = +\infty$ ; par comparaison, $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm{e}^x = +\infty$.

Leçon 7 : Croissance comparée de $x^n$ et de l'exponentielle

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7.1 Le théorème

Théorème (démonstration du programme : « croissance comparée de $x \mapsto x^n$ et exp en $+\infty$ »). Pour tout entier $n \geq 1$, $\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty.$ On dit qu'en $+\infty$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$.