Convexité et dérivées

6.1 Les caractérisations (admises)

Théorème (équivalence admise par le programme). Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est convexe sur $I$ ;
2. la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$ ;
3. la dérivée $f'$ est croissante sur $I$ ;
4. la dérivée seconde $f''$ est positive sur $I$ : $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$.

De même, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est en dessous de ses tangentes, si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$, si et seulement si $f'' \leq 0$ sur $I$.

Pourquoi c'est naturel. Sur une courbe convexe, quand on avance de gauche à droite, la pente des tangentes augmente : $f'$ croît. Et $f'$ croissante, c'est $f'' \geq 0$ (signe de la dérivée et variations, appliqué à $f'$).

En pratique, on étudie la convexité avec le signe de $f''$.

6.2 Démonstration du programme

Propriété. Si $f''$ est positive sur $I$, alors la courbe représentative de $f$ est au-dessus de ses tangentes.

Démonstration. Soit $a$ un réel de $I$. La tangente $T_a$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a)$. On étudie l'écart entre la courbe et la tangente : $g(x) = f(x) - \big(f(a) + f'(a)(x - a)\big), \qquad x \in I.$

1. La fonction $g$ est dérivable sur $I$ et $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ (car $f(a)$ et $f'(a)$ sont des constantes).
2. Comme $f'' \geq 0$ sur $I$, la fonction $f'$ est croissante sur $I$. Donc :
   • si $x \leq a$, alors $f'(x) \leq f'(a)$, donc $g'(x) \leq 0$ ;
   • si $x \geq a$, alors $f'(x) \geq f'(a)$, donc $g'(x) \geq 0$.
3. La fonction $g$ est donc décroissante sur $I \cap\, ]-\infty\,;a]$ et croissante sur $I \cap [a\,;+\infty[$. Elle atteint son minimum en $a$, et ce minimum vaut $g(a) = f(a) - f(a) - 0 = 0$.

4. Donc $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$, c'est-à-dire $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ : la courbe est au-dessus de sa tangente $T_a$. Comme $a$ est quelconque, elle est au-dessus de toutes ses tangentes.

De même, si $f'' \leq 0$ sur $I$, la courbe est en dessous de ses tangentes (on applique le résultat à $-f$).

6.3 Étudier la convexité d'une fonction

Exemple 17 (l'exponentielle). $(\mathrm{e}^x)'' = \mathrm{e}^x > 0$ pour tout réel $x$ : la fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Exemple 18 (la racine carrée). Sur $]0\,;+\infty[$, la dérivée $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$ est décroissante : quand $x$ augmente, $\sqrt x$ augmente, donc $\dfrac{1}{2\sqrt x}$ diminue. La fonction racine carrée est donc concave sur $]0\,;+\infty[$. Par le calcul, avec $f'(x) = \dfrac12 \times \dfrac{1}{\sqrt x}$ et la règle $\left(\dfrac1u\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ : $f''(x) = \frac12 \times \left(-\frac{\frac{1}{2\sqrt x}}{x}\right) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} < 0.$

Exemple 19. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ (exemple 13) : $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$
convexité de $f$		concave		convexe

$f$ est concave sur $]-\infty\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$.

Exemple 20. $g(x) = x\,\mathrm{e}^x$ (exemple 14) : $g''(x) = (x + 2)\,\mathrm{e}^x$, du signe de $x + 2$. La fonction $g$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$ et convexe sur $[-2\,;+\infty[$.

Méthode. Pour étudier la convexité de $f$ sur $I$ : on calcule $f''(x)$, on étudie son signe, et on conclut : convexe là où $f'' \geq 0$, concave là où $f'' \leq 0$.