Étude complète d'une fonction

4.1 La méthode

Le programme demande de savoir « calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d'une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence ». On procède en six étapes.

1. Ensemble de définition (avec la leçon 2 pour une composée).
2. Limites aux bornes de l'ensemble de définition (chapitre 4), et asymptotes éventuelles.
3. Dérivée, mise si possible sous forme factorisée.
4. Signe de la dérivée, avec un tableau de signes si nécessaire.
5. Tableau de variations complet : signe de $f'$, flèches, limites et valeurs des extremums.
6. Allure de la courbe, à partir du tableau.

4.2 Un exemple avec une racine carrée

Exemple 11. Soit $f(x) = x\sqrt{3 - x}$.

1. Ensemble de définition. Il faut $3 - x \geq 0$, soit $x \leq 3$ : $f$ est définie sur $]-\infty\,;3]$. Elle est dérivable sur $]-\infty\,;3[$, où $3 - x > 0$.

2. Limite en $-\infty$. Quand $x \to -\infty$, $3 - x \to +\infty$, donc $\sqrt{3 - x} \to +\infty$ (composition). Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) = -\infty$. En l'autre borne, $f(3) = 3 \times 0 = 0$.

3. Dérivée. On dérive le produit, avec $\left(\sqrt{3 - x}\right)' = \dfrac{-1}{2\sqrt{3 - x}}$ : pour $x < 3$, $f'(x) = \sqrt{3 - x} + x \times \frac{-1}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{3(2 - x)}{2\sqrt{3 - x}}.$

4. Signe. Le dénominateur est strictement positif : $f'(x)$ a le signe de $2 - x$, positif sur $]-\infty\,;2[$, négatif sur $]2\,;3[$.

5. Tableau de variations. $f(2) = 2\sqrt{1} = 2$.

$x$	$-\infty$		$2$		$3$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$-\infty$	croissante	$2$	décroissante	$0$

6. Courbe. Elle vient de $-\infty$, passe par l'origine ($f(0) = 0$), monte jusqu'au point $(2\,;2)$, où la tangente est horizontale, puis redescend jusqu'au point $(3\,;0)$. Quelques valeurs : $f(-2) = -2\sqrt5 \approx -4{,}47$, $f(-1) = -2$, $f(1) = \sqrt2 \approx 1{,}41$.

4.3 Un exemple avec l'exponentielle

Exemple 12. Soit $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$.

• Limites. Quand $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$, $-x^2 \to -\infty$, et $\mathrm{e}^X \to 0$ quand $X \to -\infty$. Donc $f$ tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale des deux côtés.
• Dérivée (exemple 7) : $f'(x) = -2x\,\mathrm{e}^{-x^2}$, du signe de $-2x$.
• Variations. $f$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$, décroissante sur $[0\,;+\infty[$, et son maximum est $f(0) = 1$.

La courbe a la forme d'une cloche, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, car $f(-x) = f(x)$. On la retrouvera à la leçon 7.