Ensembles, principe additif et principe multiplicatif

1.1 Vocabulaire des ensembles

Un ensemble fini $E$ est formé d'un nombre fini d'objets, ses éléments. On écrit $x \in E$ (« $x$ appartient à $E$ »). On peut donner un ensemble en extension, en écrivant ses éléments entre accolades : $E = \{a\,;b\,;c\}$. L'ordre d'écriture ne compte pas, et chaque élément n'est écrit qu'une fois : $\{a\,;b\,;c\} = \{c\,;a\,;b\}$.

• Le cardinal de $E$, noté $\mathrm{Card}(E)$, est son nombre d'éléments. Par exemple $\mathrm{Card}(\{a\,;b\,;c\}) = 3$.
• L'ensemble vide, noté $\varnothing$, n'a aucun élément : $\mathrm{Card}(\varnothing) = 0$.
• $A$ est une partie (ou un sous-ensemble) de $E$, et on note $A \subset E$, si tout élément de $A$ est un élément de $E$. L'ensemble vide et $E$ lui-même sont des parties de $E$.
• Pour deux parties $A$ et $B$ de $E$ : l'intersection $A \cap B$ contient les éléments communs à $A$ et à $B$ ; la réunion $A \cup B$ contient les éléments qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou dans les deux) ; le complémentaire de $A$ dans $E$, noté $\overline{A}$ ou $E \setminus A$, contient les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$.
• $A$ et $B$ sont disjoints s'ils n'ont aucun élément commun : $A \cap B = \varnothing$.

1.2 Le principe additif

Propriété (programme : principe additif). Si $A$ et $B$ sont deux ensembles finis disjoints, alors $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B).$ Plus généralement, si $A_1, A_2, \ldots, A_p$ sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors $\mathrm{Card}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_p) = \mathrm{Card}(A_1) + \mathrm{Card}(A_2) + \cdots + \mathrm{Card}(A_p)$.

Exemple 1. Le jeudi après-midi, un lycée propose $4$ sports et $3$ ateliers artistiques. Chaque élève choisit une seule activité. Les deux listes n'ont aucune activité en commun : il y a $4 + 3 = 7$ choix possibles.

Conséquence : le complémentaire. Une partie $A$ de $E$ et son complémentaire $\overline{A}$ sont disjoints, et leur réunion est $E$. Donc $\mathrm{Card}(\overline{A}) = \mathrm{Card}(E) - \mathrm{Card}(A).$ C'est souvent plus rapide de compter ce que l'on ne veut pas, puis de le retirer du total.

Quand les ensembles ne sont pas disjoints, on découpe en morceaux disjoints.

Exemple 2. Dans une classe de $35$ élèves, $18$ chantent dans la chorale, $10$ font partie du club d'échecs, et $4$ font les deux.

• Seulement la chorale : $18 - 4 = 14$ élèves ; seulement les échecs : $10 - 4 = 6$ élèves ; les deux : $4$ élèves.
• Ces trois groupes sont disjoints. Par le principe additif, $14 + 6 + 4 = 24$ élèves pratiquent au moins l'une des deux activités.
• Par complémentaire, $35 - 24 = 11$ élèves ne pratiquent aucune des deux.

On peut ranger ces nombres dans un tableau à double entrée :

	Échecs	Pas échecs	Total
Chorale	$4$	$14$	$18$
Pas chorale	$6$	$11$	$17$
Total	$10$	$25$	$35$

Remarque. Ce découpage donne la formule $\mathrm{Card}(A \cup B) = \mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B) - \mathrm{Card}(A \cap B)$ : dans $\mathrm{Card}(A) + \mathrm{Card}(B)$, les éléments de $A \cap B$ sont comptés deux fois. Ici, $18 + 10 - 4 = 24$.

1.3 Couples, $k$-uplets et produit cartésien

Ces notions sont définies pour des ensembles quelconques, finis ou non.

• Un couple $(x\,;y)$ est formé d'un premier élément $x$ et d'un second élément $y$. L'ordre compte : $(1\,;2) \neq (2\,;1)$. Deux couples sont égaux quand ils ont le même premier élément et le même second élément. Un couple peut avoir deux fois le même élément : $(1\,;1)$.
• Le produit cartésien de deux ensembles $E$ et $F$ est l'ensemble des couples dont le premier élément est dans $E$ et le second dans $F$ : $E \times F = \{(x\,;y) \text{ avec } x \in E \text{ et } y \in F\}.$
• De même, un triplet $(x\,;y\,;z)$ a trois éléments rangés dans un ordre, et un $k$-uplet (ou $k$-liste) $(x_1\,;x_2\,;\ldots\,;x_k)$ en a $k$. Le produit cartésien $E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_k$ est l'ensemble des $k$-uplets dont le premier élément est dans $E_1$, le deuxième dans $E_2$, etc.
• Si $A$ est un ensemble, on note $A^k = A \times A \times \cdots \times A$ ($k$ facteurs) l'ensemble des $k$-uplets d'éléments de $A$.

Exemples. Les couples de réels forment $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ : ce sont les coordonnées des points du plan dans un repère. Les triplets de réels forment $\mathbb{R}^3$, qui repère les points de l'espace (chapitre 3).

1.4 Le principe multiplicatif

Propriété (programme : principe multiplicatif). Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, alors $\mathrm{Card}(E \times F) = \mathrm{Card}(E) \times \mathrm{Card}(F).$ Plus généralement, $\mathrm{Card}(E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_k) = \mathrm{Card}(E_1) \times \mathrm{Card}(E_2) \times \cdots \times \mathrm{Card}(E_k)$.

Pourquoi. Si $\mathrm{Card}(E) = n$ et $\mathrm{Card}(F) = p$, on range les couples dans un tableau à $n$ lignes (une par élément de $E$) et $p$ colonnes (une par élément de $F$) : il a $n \times p$ cases. On peut aussi dire que $E \times F$ est la réunion des $n$ ensembles disjoints $\{x\} \times F$, qui ont chacun $p$ éléments : principe additif.

Exemple 3. On lance une pièce, puis un dé à six faces. Une issue est un couple, par exemple $(P\,;3)$ (pile, puis trois). L'ensemble des issues est $\{P\,;F\} \times \{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$ : il y a $2 \times 6 = 12$ issues.

Exemple 4. La cantine propose $2$ entrées, $3$ plats et $2$ desserts. Un menu est un triplet (entrée ; plat ; dessert). Il y a $2 \times 3 \times 2 = 12$ menus. Un arbre les montre tous : $2$ branches au premier niveau, puis $3$ branches au bout de chacune, puis $2$ : $12$ chemins.

En pratique. Quand on fait un choix en plusieurs étapes, et que le nombre de possibilités à chaque étape ne dépend pas des choix précédents, on multiplie ces nombres.