Devoir sur 20 : Dénombrement · MathsPourLesLycéens

Devoir d'une heure, noté sur 20 points. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Répondre en justifiant brièvement. (1 point par question)

Calculer $\dfrac{8!}{6!}$ sans calculatrice.
Calculer $\dbinom93$ avec la formule du cours.
Combien de parties a un ensemble à $10$ éléments ?
Combien de codes de $5$ caractères peut-on former avec les $26$ lettres majuscules, si une même lettre peut être utilisée plusieurs fois ?
Dans une classe de $28$ élèves, on élit un délégué et un suppléant. Combien de choix sont possibles ?
Dans la même classe, on choisit $3$ élèves, sans fonction particulière, pour représenter la classe. Combien de choix sont possibles ?

Cet exercice reprend les deux démonstrations du programme.

Démontrer par le calcul que, pour tous entiers $n$ et $k$ tels que $0 \leq k \leq n - 1$ : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}.$ (2,5 points)
On admet qu'un ensemble à $n$ éléments a $2^n$ parties. Démontrer par dénombrement que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ . (1,5 point)
En déduire la valeur de $\dbinom{10}{1} + \dbinom{10}{2} + \cdots + \dbinom{10}{10}$ . (1 point)

Un groupe de randonnée compte $12$ personnes : $7$ adultes et $5$ adolescents.

On forme une équipe de $4$ personnes pour préparer le pique-nique. Combien d'équipes différentes peut-on former ? (1 point)
Combien d'équipes comptent exactement $2$ adolescents ? (1,5 point)
Combien d'équipes comptent au moins un adolescent ? (1,5 point)
L'équipe est tirée au sort, toutes les équipes ayant la même probabilité. Quelle est la probabilité que l'équipe ne compte que des adultes ? Donner la valeur exacte, puis l'arrondi au centième. (1 point)
Pour le retour, les $12$ randonneurs montent dans un minibus de $12$ places numérotées. De combien de façons peuvent-ils s'installer ? (1 point)
Dans le village d'arrivée, les rues forment un quadrillage. Le groupe va du point $A$ au point $B$ , situé $6$ rues plus à droite et $2$ rues plus haut, en allant toujours vers la droite ou vers le haut. Combien de trajets différents existe-t-il ? Justifier à l'aide de mots. (1,5 point)
Pour le goûter, on dispose de $6$ garnitures différentes. Un sandwich contient au moins une garniture, chacune au plus une fois, et l'ordre des garnitures ne compte pas. Combien de sandwichs différents peut-on composer ? (1,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

1. (1 pt) $\dfrac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56$ (les facteurs de $1$ à $6$ se simplifient).

2. (1 pt) $\dbinom93 = \dfrac{9 \times 8 \times 7}{3!} = \dfrac{504}{6} = 84$ .

3. (1 pt) $2^{10} = 1\,024$ parties.

4. (1 pt) L'ordre compte et les répétitions sont permises : un code est un $5$ -uplet de lettres, $26^5 = 11\,881\,376$ codes.

5. (1 pt) Les deux fonctions sont différentes, l'ordre compte : un couple d'élèves distincts, $28 \times 27 = 756$ choix.

6. (1 pt) L'ordre ne compte pas : une partie à $3$ éléments, $\dbinom{28}{3} = \dfrac{28 \times 27 \times 26}{6} = 3\,276$ choix.

1. (2,5 pts)

(0,5 pt) $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!} + \dfrac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}$ .
(1 pt) Avec $(k+1)! = (k+1) \times k!$ et $(n-k)! = (n-k) \times (n-k-1)!$ , on met au dénominateur commun $(k+1)!\,(n-k)!$ : la somme vaut $\dfrac{n!\,(k+1) + n!\,(n-k)}{(k+1)!\,(n-k)!} = \dfrac{n!\,(n+1)}{(k+1)!\,(n-k)!}$ .
(1 pt) Or $n!\,(n+1) = (n+1)!$ et $n - k = (n+1) - (k+1)$ : on obtient $\dfrac{(n+1)!}{(k+1)!\,\big((n+1)-(k+1)\big)!} = \dbinom{n+1}{k+1}$ .

2. (1,5 pt)

(0,5 pt) Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. On range ses parties selon leur nombre d'éléments $k$ , de $0$ à $n$ ; il y a $\dbinom{n}{k}$ parties à $k$ éléments.
(0,5 pt) Ces groupes sont deux à deux disjoints et contiennent toutes les parties : par le principe additif, $E$ a $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ parties.
(0,5 pt) Ce nombre vaut aussi $2^n$ , d'où l'égalité.

3. (1 pt) La somme demandée est celle de la ligne $10$ privée de $\dbinom{10}{0} = 1$ : $2^{10} - 1 = 1\,023$ .

1. (1 pt) Une équipe est une partie à $4$ éléments des $12$ personnes : $\dbinom{12}{4} = 495$ équipes.

2. (1,5 pt)

(1 pt) On choisit les $2$ adolescents parmi $5$ , puis les $2$ adultes parmi $7$ : on multiplie.
(0,5 pt) $\dbinom52 \times \dbinom72 = 10 \times 21 = 210$ équipes.

3. (1,5 pt)

(1 pt) Le contraire est « aucun adolescent » : $4$ adultes parmi $7$ , soit $\dbinom74 = 35$ équipes.
(0,5 pt) Il reste $495 - 35 = 460$ équipes avec au moins un adolescent.

4. (1 pt) $P = \dfrac{35}{495} = \dfrac{7}{99} \approx 0{,}07$ .

5. (1 pt) Une installation est une permutation des $12$ randonneurs sur les $12$ places : $12! = 479\,001\,600$ façons.

6. (1,5 pt)

(1 pt) Un trajet est un mot de $8$ lettres, avec $6$ lettres $D$ (droite) et $2$ lettres $H$ (haut) ; il est connu dès qu'on choisit les $2$ places des $H$ parmi $8$ .
(0,5 pt) $\dbinom82 = 28$ trajets.

7. (1,5 pt)

(1 pt) Un sandwich correspond à une partie non vide de l'ensemble des $6$ garnitures.
(0,5 pt) Il y a $2^6 = 64$ parties, dont la partie vide : $64 - 1 = 63$ sandwichs.

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, questions 1, 2	O5 Factorielle ; O7 Formules des combinaisons
Ex. 1, questions 3, 4	O3 Nombre de $k$ -uplets ; O4 Nombre de parties
Ex. 1, questions 5, 6	O12 Reconnaître l'objet à dénombrer (ordre ou non)
Ex. 2, question 1	O9 Relation de Pascal, démonstration par le calcul
Ex. 2, questions 2, 3	O10 Somme des $\binom{n}{k}$ , démonstration par dénombrement
Ex. 3, questions 1 à 3	O7 Combinaisons ; O1 et O2 Principes additif et multiplicatif ; complémentaire
Ex. 3, question 4	O12 Dénombrement et probabilités (équiprobabilité)
Ex. 3, question 5	O6 Permutations
Ex. 3, questions 6, 7	O10 Mots et chemins ; O4 Parties