L'idée de limite

Que deviennent les termes d'une suite quand $n$ devient très grand ? Ici, on observe sur des exemples, sans définition rigoureuse. Cette notion sera précisée en Terminale.

9.1 Une limite finie

Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}$.

Les termes se rapprochent de $2$, autant qu'on veut. On dit que la suite tend vers $2$, et que $2$ est sa limite. C'est une limite finie.

Exemple 17 (l'aquarium). Avec $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 5$, on trouve $u_{10} \approx 39{,}5$, $u_{20} \approx 46{,}4$ et $u_{100} \approx 49{,}999$. Le volume semble tendre vers $50$ litres. C'est logique : $10\,\%$ de $50$ litres, c'est $5$ litres, donc on retire autant qu'on ajoute.

9.2 Une limite infinie

• $v_n = n^2$ finit par dépasser n'importe quel nombre, et reste au-dessus. La suite tend vers $+\infty$.
• $w_n = 5 - 2n$ finit par passer sous n'importe quel nombre, et reste en dessous. La suite tend vers $-\infty$.

9.3 Une suite sans limite

• $t_n = (-1)^n$ vaut $1, -1, 1, -1\ldots$ Elle oscille sans fin entre deux valeurs, sans se rapprocher d'aucun nombre.
• $s_n = n \times (-1)^n$ vaut $0, -1, 2, -3, 4\ldots$ Elle s'éloigne, alternativement des deux côtés. Elle ne tend ni vers $+\infty$, ni vers $-\infty$.

9.4 Deux idées fausses

« Une suite croissante tend vers $+\infty$. » C'est faux : $\dfrac{2n + 1}{n + 1}$ est croissante, et elle tend vers $2$.

« Une suite qui tend vers $+\infty$ est croissante. » C'est faux aussi : $n + 3 \times (-1)^n$ vaut $3, -2, 5, 0, 7\ldots$ Elle monte et descend, tout en finissant par dépasser n'importe quel nombre.

9.5 Conjecturer une limite

Pour conjecturer, on calcule des termes de rang élevé et on regarde le nuage de points. Python est un allié.

>>> [round((2*n + 1) / (n + 1), 4) for n in [10, 100, 1000, 10000]]
[1.9091, 1.9901, 1.999, 1.9999]

Attention. Cela reste une conjecture : une observation n'est pas une démonstration, même sur de très grands rangs. Les outils pour démontrer une limite viendront en Terminale.

9.6 Un peu d'histoire

Bien avant d'être étudiées, les suites ont servi à approcher des nombres. Archimède encadrait $\pi$, et Héron d'Alexandrie calculait des racines carrées. Sa méthode s'écrit aujourd'hui : $u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac12\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right).$ On trouve $2$ ; $1{,}5$ ; environ $1{,}417$ ; environ $1{,}4142$. Les termes semblent tendre vers $\sqrt2 \approx 1{,}4142$.