Qu'est-ce qu'une suite ?

1.1 Une liste de nombres numérotés

Une salle d'escalade vend une carte d'adhésion à $15$ €, puis chaque séance coûte $8$ €. La dépense dépend du nombre de séances.

À chaque nombre de séances, on associe une dépense. On obtient une liste de nombres numérotés, que l'on peut prolonger sans fin : c'est une suite.

1.2 Définition et notations

Définition. Une suite numérique associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel. C'est une fonction dont la variable est un entier naturel. L'image de $n$ s'appelle le terme de rang $n$.

L'ensemble des entiers naturels se note $\mathbb{N} = \{0\,; 1\,; 2\,; 3\,; \ldots\}$.

L'écriture $u_n$, avec un indice, est la plus courante.

1.3 Rang et terme

Le rang est le numéro de la place. Le terme est le nombre placé à cet endroit. Dans la salle d'escalade, $u_3 = 39$ : le terme de rang $3$ vaut $39$.

Une suite commence souvent au rang $0$. Le premier terme est alors $u_0$, et le cinquième terme est $u_4$. Mais elle peut commencer au rang $1$ : le premier terme est alors $u_1$, et le cinquième terme est $u_5$.

Attention, le piège de l'indice. $u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_n$. Ce n'est pas $u_n + 1$. De même, $u_{n-1}$ est le terme qui précède $u_n$.

Exemple 1. Pour $n = 3$ : $u_{3+1} = u_4 = 47$, et non $u_3 + 1 = 39 + 1 = 40$.

1.4 La formule explicite

Définition. Une suite est définie de façon explicite quand il existe une fonction $f$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.

Calculer un terme revient alors à calculer une image, sans avoir besoin des termes précédents.

Exemple 2. Pour la salle d'escalade, $f(x) = 15 + 8x$, donc $u_n = 15 + 8n$ pour tout entier naturel $n$. Pour vingt séances, $u_{20} = 15 + 8 \times 20 = 175$, soit $175$ €.

Exemple 3. Soit $v_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$. Alors $v_0 = \dfrac12$, $v_1 = \dfrac33 = 1$ et $v_{10} = \dfrac{21}{12} = \dfrac74$.

Exemple 4. Soit $w_n = 3 \times 2^n - 1$. Alors $w_0 = 3 \times 2^0 - 1 = 3 - 1 = 2$ et $w_4 = 3 \times 16 - 1 = 47$.

Automatisme. Pour tout réel $a$ non nul, $a^0 = 1$. Les puissances de $2$ à connaître : $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1\,024$. Une fraction se simplifie avant de conclure : $\dfrac{21}{12} = \dfrac{3 \times 7}{3 \times 4} = \dfrac74$.

1.5 Remplacer $n$ par une expression

Pour écrire $a_{n+1}$, on remplace $n$ par $n + 1$ partout, avec des parenthèses.

Exemple 5. Soit $a_n = n^2 + 3n$. $a_{n+1} = (n+1)^2 + 3(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 = n^2 + 5n + 4.$ De la même façon, $a_{2n} = (2n)^2 + 3 \times 2n = 4n^2 + 6n$.

Le nombre $a_n + 1$, lui, vaut $n^2 + 3n + 1$ : ce n'est pas la même chose.