Suites numériques

Leçon 1 : Qu'est-ce qu'une suite ?

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Une liste de nombres numérotés

Une salle d'escalade vend une carte d'adhésion à $15$ €, puis chaque séance coûte $8$ €. La dépense dépend du nombre de séances.

À chaque nombre de séances, on associe une dépense. On obtient une liste de nombres numérotés, que l'on peut prolonger sans fin : c'est une suite.

1.2 Définition et notations

Définition. Une suite numérique associe à chaque entier naturel $n$ un nombre réel. C'est une fonction dont la variable est un entier naturel. L'image de $n$ s'appelle le terme de rang $n$.

L'ensemble des entiers naturels se note $\mathbb{N} = \{0\,; 1\,; 2\,; 3\,; \ldots\}$.

L'écriture $u_n$, avec un indice, est la plus courante.

1.3 Rang et terme

Le rang est le numéro de la place. Le terme est le nombre placé à cet endroit. Dans la salle d'escalade, $u_3 = 39$ : le terme de rang $3$ vaut $39$.

Une suite commence souvent au rang $0$. Le premier terme est alors $u_0$, et le cinquième terme est $u_4$. Mais elle peut commencer au rang $1$ : le premier terme est alors $u_1$, et le cinquième terme est $u_5$.

Attention, le piège de l'indice. $u_{n+1}$ est le terme qui suit $u_n$. Ce n'est pas $u_n + 1$. De même, $u_{n-1}$ est le terme qui précède $u_n$.

Exemple 1. Pour $n = 3$ : $u_{3+1} = u_4 = 47$, et non $u_3 + 1 = 39 + 1 = 40$.

1.4 La formule explicite

Définition. Une suite est définie de façon explicite quand il existe une fonction $f$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = f(n)$.

Calculer un terme revient alors à calculer une image, sans avoir besoin des termes précédents.

Exemple 2. Pour la salle d'escalade, $f(x) = 15 + 8x$, donc $u_n = 15 + 8n$ pour tout entier naturel $n$. Pour vingt séances, $u_{20} = 15 + 8 \times 20 = 175$, soit $175$ €.

Exemple 3. Soit $v_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$. Alors $v_0 = \dfrac12$, $v_1 = \dfrac33 = 1$ et $v_{10} = \dfrac{21}{12} = \dfrac74$.

Exemple 4. Soit $w_n = 3 \times 2^n - 1$. Alors $w_0 = 3 \times 2^0 - 1 = 3 - 1 = 2$ et $w_4 = 3 \times 16 - 1 = 47$.

Automatisme. Pour tout réel $a$ non nul, $a^0 = 1$. Les puissances de $2$ à connaître : $2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1\,024$. Une fraction se simplifie avant de conclure : $\dfrac{21}{12} = \dfrac{3 \times 7}{3 \times 4} = \dfrac74$.

1.5 Remplacer $n$ par une expression

Pour écrire $a_{n+1}$, on remplace $n$ par $n + 1$ partout, avec des parenthèses.

Exemple 5. Soit $a_n = n^2 + 3n$. $a_{n+1} = (n+1)^2 + 3(n+1) = n^2 + 2n + 1 + 3n + 3 = n^2 + 5n + 4.$ De la même façon, $a_{2n} = (2n)^2 + 3 \times 2n = 4n^2 + 6n$.

Le nombre $a_n + 1$, lui, vaut $n^2 + 3n + 1$ : ce n'est pas la même chose.

Leçon 2 : La relation de récurrence

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Définition

Définition. Une suite est définie par récurrence quand on donne :

1. son premier terme ;
2. une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent, de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemple 6. On pose $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - 1$. Ici, $f(x) = 2x - 1$.

2.2 Calculer de proche en proche

Chaque terme sert à calculer le suivant. $u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5, \quad u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9, \quad u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17, \quad u_4 = 2 \times 17 - 1 = 33.$

Pour obtenir $u_{100}$, il faudrait d'abord tous les termes précédents.

2.3 Le premier terme compte

La relation seule ne définit pas la suite. Avec la même relation $u_{n+1} = 2u_n - 1$ :

2.4 Traduire une situation

Pour modéliser une situation par une relation de récurrence, on écrit ce qui se passe en une étape.

Exemple 7 (un aquarium). Un aquarium contient $20$ litres d'eau. Chaque semaine, on retire $10\,\%$ de l'eau, puis on ajoute $5$ litres d'eau neuve. On note $u_n$ le volume, en litres, au bout de $n$ semaines.

Retirer $10\,\%$, c'est multiplier par $0{,}9$. On ajoute ensuite $5$. Donc, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 5, \quad \text{avec } u_0 = 20.$ On trouve $u_1 = 0{,}9 \times 20 + 5 = 23$ et $u_2 = 0{,}9 \times 23 + 5 = 25{,}7$.

Automatisme. Baisser de $10\,\%$, c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 0{,}9$. Augmenter de $10\,\%$, c'est multiplier par $1{,}1$.

2.5 Chercher une formule explicite

Une relation de récurrence oblige à calculer tous les termes. On cherche donc parfois une formule explicite, en observant les premiers termes.

Exemple 8. Pour la suite de l'exemple 6, les termes $3, 5, 9, 17, 33$ s'écrivent $2 + 1$, $4 + 1$, $8 + 1$, $16 + 1$, $32 + 1$. On conjecture que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1} + 1.$ Testons cette formule dans la relation : $2u_n - 1 = 2\left(2^{n+1} + 1\right) - 1 = 2^{n+2} + 2 - 1 = 2^{n+2} + 1.$ C'est bien la formule au rang $n + 1$. La démonstration complète utilise le raisonnement par récurrence, vu en Terminale. Avec cette formule, $u_{10} = 2^{11} + 1 = 2\,049$, sans calculer les termes d'avant.

2.6 Comparer les deux modes

Attention. Avec la même fonction, on n'obtient pas la même suite. Pour $f(x) = 2x - 1$, la formule explicite $u_n = 2n - 1$ donne $-1, 1, 3, 5$, alors que la relation $u_{n+1} = 2u_n - 1$ avec $u_0 = 3$ donne $3, 5, 9, 17$.

Leçon 3 : Motifs et dénombrements

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Une figure qui grandit

Avec des allumettes, on construit une rangée de carrés collés les uns aux autres. On note $a_n$ le nombre d'allumettes pour $n$ carrés. Cette suite commence au rang $1$.

Relation de récurrence. On regarde ce que change une étape de plus. Un nouveau carré partage un côté avec le précédent : il ne demande que trois allumettes. $a_{n+1} = a_n + 3, \quad \text{avec } a_1 = 4.$

Formule explicite. On compte tout d'un coup, autrement : une première allumette verticale à gauche, puis trois allumettes par carré. $a_n = 3n + 1.$ Pour cent carrés, $a_{100} = 301$, sans dessiner la rangée.

3.2 Une question de dénombrement

Dans une réunion de $n$ personnes, chacun serre la main de tous les autres, une seule fois. On note $p_n$ le nombre de poignées de main.

Relation de récurrence. Une nouvelle personne arrive dans un groupe de $n$ personnes : elle serre $n$ mains. $p_{n+1} = p_n + n.$ Cette relation dépend aussi de $n$ : elle n'est pas de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$, mais elle permet tout autant de calculer les termes de proche en proche.

Formule explicite. Chacune des $n$ personnes serre $n - 1$ mains, ce qui fait $n(n - 1)$. Mais chaque poignée de main est comptée deux fois. $p_n = \frac{n(n - 1)}{2}.$ Pour $30$ personnes, $p_{30} = \dfrac{30 \times 29}{2} = 435$.

3.3 Une suite définie par un algorithme

Une suite peut aussi être définie par un algorithme. Le symbole « $\leftarrow$ » se lit « prend la valeur ».

a ← 4
Répéter n - 1 fois
    a ← a + 3
Fin Répéter

Pour $n = 4$, la boucle tourne trois fois : $a$ prend les valeurs $7$, $10$, puis $13$. On obtient bien $a_4 = 13$.

3.4 Passer d'un mode à un autre

Une même suite peut s'écrire de plusieurs façons. On choisit la plus pratique selon la question posée.

Pour passer de la formule explicite à la relation, on calcule la différence de deux termes consécutifs : $a_{n+1} - a_n = 3(n + 1) + 1 - (3n + 1) = 3.$

Exemple 9. Pour $c_n = n^2$, on trouve $c_{n+1} - c_n = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1$. Donc $c_{n+1} = c_n + 2n + 1$. Sur une figure, on passe d'un carré de $n$ points de côté au carré suivant en ajoutant une équerre de $2n + 1$ points.

Leçon 4 : Représenter une suite

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Le nuage de points

Définition. On représente une suite $(u_n)$ par les points de coordonnées $(n\,;u_n)$ dans un repère. L'abscisse est le rang, l'ordonnée est la valeur du terme.

On ne relie pas les points : la suite n'existe que pour les entiers.

Exemple 10. Soit $u_n = \dfrac12 n^2 - 3n + 6$. On trouve $u_0 = 6$, $u_1 = 3{,}5$, $u_2 = 2$, $u_3 = 1{,}5$, $u_4 = 2$, $u_5 = 3{,}5$ et $u_6 = 6$. Les points sont sur la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac12 x^2 - 3x + 6$.

4.2 Lire un graphique

Sur le nuage de l'exemple 10 :

• une image : le point d'abscisse $3$ a pour ordonnée $1{,}5$, donc $u_3 = 1{,}5$ ;
• des antécédents : $u_n = 3{,}5$ pour $n = 1$ et $n = 5$ ;
• des variations : les termes diminuent jusqu'au rang $3$, puis augmentent.

Automatisme. Sur un graphique, on commence par repérer les axes, les unités et l'origine. Lire une image se fait de l'abscisse vers l'ordonnée, chercher un antécédent se fait de l'ordonnée vers l'abscisse.

4.3 Une suite définie par récurrence

Sans formule en $n$, on calcule les termes l'un après l'autre, puis on place les points.

Exemple 11. Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 2$. On trouve $1$ ; $2{,}5$ ; $3{,}25$ ; $3{,}625$ ; $3{,}8125$. Les points montent de moins en moins vite, et semblent se rapprocher de la droite d'équation $y = 4$.

4.4 La construction en escalier

Pour une relation $u_{n+1} = f(u_n)$, une autre construction lit directement la relation. On parle de construction en escalier.

1. On trace la courbe de $f$ et la droite d'équation $y = x$.
2. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
3. On monte jusqu'à la courbe de $f$ : l'ordonnée du point atteint est $f(u_0) = u_1$.
4. On se déplace à l'horizontale jusqu'à la droite $y = x$ : l'abscisse devient $u_1$.
5. On redescend sur l'axe pour placer $u_1$.
6. On recommence à partir de $u_1$.

Les termes s'alignent sur l'axe des abscisses. Avec $f(x) = \dfrac12 x + 2$ :

• en partant de $u_0 = 1$, les termes montent et s'approchent de $4$ ;
• en partant de $u_0 = 7$, on trouve $7$ ; $5{,}5$ ; $4{,}75$ ; $4{,}375$ : les termes descendent et s'approchent aussi de $4$.

Le nombre $4$ est l'abscisse du point d'intersection de la courbe de $f$ et de la droite $y = x$.

Attention. Cette construction sert à conjecturer. Elle ne démontre rien.

4.5 Trois registres

Une même suite se décrit dans trois registres, et il faut savoir passer de l'un à l'autre.

Leçon 5 : Sens de variation d'une suite

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 Définitions

Définitions. Une suite $(u_n)$ est :

• croissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \geq u_n$ ;
• décroissante si, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} \leq u_n$ ;
• strictement croissante ou décroissante, si l'inégalité est stricte ;
• constante si tous ses termes sont égaux ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante.

On dit aussi qu'une suite est croissante à partir du rang $n_0$ si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout entier $n \geq n_0$.

5.2 Première méthode : le signe de la différence

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. C'est la méthode la plus générale.

Exemple 12. Soit $u_n = n^2 - 6n + 1$. $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 6(n+1) + 1 - n^2 + 6n - 1 = 2n - 5.$ Cette différence est négative pour $n = 0$, $1$ et $2$, positive à partir de $n = 3$. Les premiers termes sont $1$, $-4$, $-7$, $-8$, $-7$, $-4$, $1$ : la suite décroît, puis elle est croissante à partir du rang $3$.

5.3 Deuxième méthode : une fonction monotone

Propriété. Si $u_n = f(n)$ et si $f$ est monotone sur $[0\,;+\infty[$, alors $(u_n)$ a le même sens de variation que $f$.

Exemple 13. Soit $v_n = 4 - 3n$. La fonction $f$ est affine, de coefficient $-3 < 0$, donc elle est décroissante : la suite est décroissante.

Exemple 14. Soit $w_n = 2(n - 1)^2 + 3$. Cette forme canonique montre que $f$ est croissante sur $[1\,;+\infty[$ : la suite est croissante à partir du rang $1$. Ses premiers termes sont $5$, $3$, $5$, $11$.

5.4 Troisième méthode : le quotient

Si tous les termes sont strictement positifs, on compare $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ :

• si le quotient est supérieur ou égal à $1$ pour tout $n$, la suite est croissante ;
• s'il est inférieur ou égal à $1$ pour tout $n$, la suite est décroissante.

Exemple 15. Soit $t_n = \dfrac{n + 1}{2^n}$. Tous les termes sont strictement positifs, et $\frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{n + 2}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n + 1} = \frac{n + 2}{2n + 2}.$ Pour tout entier naturel $n$, $n + 2 \leq 2n + 2$, donc ce quotient est inférieur ou égal à $1$ : la suite est décroissante.

5.5 Le cas des suites définies par récurrence

On regarde aussi la différence.

Exemple 16. Si $u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{n + 1}$, alors $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{n + 1} > 0$ : la suite est strictement croissante.

Attention. Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas celui de la suite. Avec $f(x) = \dfrac12 x + 2$, qui est croissante :

5.6 Le contraire de « croissante »

« Croissante » signifie : pour tout entier $n$, $u_{n+1} \geq u_n$. La négation de cette phrase est : $\text{il existe un entier } n \text{ tel que } u_{n+1} < u_n.$

Un seul contre-exemple suffit donc à prouver qu'une suite n'est pas croissante.

Attention. « Non croissante » ne veut pas dire « décroissante ». La suite $u_n = (-1)^n$ vaut $1, -1, 1, -1\ldots$ Elle n'est ni croissante ni décroissante : elle n'est pas monotone.

Leçon 6 : Python, générer une liste

Voir la vidéo de la leçon 6

Une liste est une série finie de valeurs numérotées. C'est la seule notion nouvelle d'algorithmique de l'année, et elle va très bien avec les suites.

6.1 Quelques rappels

Cette fonction calcule $u_n$ pour la suite de l'exemple 6.

def u(n):
    x = 3
    for k in range(n):
        x = 2 * x - 1
    return x

• Le signe = est une affectation : x = 3 signifie que $x$ prend la valeur $3$. Dans un algorithme écrit en français, on note $x \leftarrow 3$.
• La boucle for répète le calcul $n$ fois.
• return renvoie le résultat. Ainsi, u(4) renvoie $33$.

6.2 En extension

Une liste s'écrit entre crochets, avec des virgules. Quand on écrit tous ses éléments, on la génère en extension.

L = [15, 23, 31, 39]

Chaque élément a un indice, et le premier indice est $0$. Ainsi, L[0] vaut $15$ et L[3] vaut $39$. La fonction len donne le nombre d'éléments : len(L) vaut $4$, et le dernier indice est $3$.

6.3 Par ajouts successifs

On part d'une liste vide, et on ajoute les éléments un par un avec append.

L = []
for n in range(5):
    L.append(n**2)

La liste L contient alors $0, 1, 4, 9, 16$.

C'est très pratique pour une suite définie par récurrence : L[k] est le terme de rang $k$, et on calcule le terme suivant.

L = [3]
for k in range(4):
    L.append(2 * L[k] - 1)

La liste L contient alors $3, 5, 9, 17, 33$.

6.4 En compréhension

La façon la plus courte est d'écrire, entre crochets, l'expression du terme suivie de for. On génère alors la liste en compréhension.

>>> [n**2 for n in range(5)]
[0, 1, 4, 9, 16]
>>> [15 + 8 * n for n in range(5)]
[15, 23, 31, 39, 47]

La première ligne se lit : « la liste des $n^2$, pour $n$ allant de $0$ à $4$ ». Ces mots viennent des ensembles : un ensemble est donné en extension quand on cite ses éléments, comme $\{1\,; 4\,; 9\}$, et en compréhension quand on le décrit par une propriété, comme « les carrés des entiers de $1$ à $3$ ».

Cette écriture convient bien aux formules explicites.

6.5 Ajouter une condition

Avec if, seuls les éléments qui vérifient la condition sont gardés. Le symbole % donne le reste de la division : n % 3 == 0 signifie que $n$ est un multiple de $3$.

>>> [n for n in range(20) if n % 3 == 0]
[0, 3, 6, 9, 12, 15, 18]
>>> [n for n in range(13) if n % 2 == 0 and n % 3 == 0]
[0, 6, 12]
>>> [n for n in range(13) if n % 2 == 0 or n % 3 == 0]
[0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12]

Le mot and traduit le « et » de la logique : les deux conditions sont vraies. Le mot or traduit le « ou » : au moins une des deux conditions est vraie, éventuellement les deux.

6.6 Deux pièges

• range(5) donne $0, 1, 2, 3, 4$ : cinq valeurs, mais pas le nombre $5$. Plus généralement, range(n) donne les entiers de $0$ à $n - 1$.
• Dans une liste de quatre éléments, les indices sont $0$, $1$, $2$ et $3$. Écrire L[4] provoque une erreur.

>>> L = [15, 23, 31, 39]
>>> L[4]
IndexError: list index out of range

Leçon 7 : Python, manipuler et parcourir une liste

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Changer, ajouter, supprimer

Voici des relevés de pluie, en millimètres, sur quatre jours. Le tableau montre la liste après chaque instruction.

Attention. Après del, les éléments suivants se décalent : leurs indices changent. S'il y a plusieurs fois la même valeur, remove ne supprime que la première.

7.2 Parcourir par les indices

range(len(P)) donne tous les indices de la liste.

for i in range(len(P)):
    print(i, P[i])

Avec $P$ contenant $3, 7, 5$, ce programme affiche les indices et les éléments, ligne après ligne : 0 3, puis 1 7, puis 2 5.

7.3 Itérer sur les éléments

On peut aussi passer directement par les éléments. C'est plus simple quand la place de l'élément n'a pas d'importance.

for x in P:
    print(x)

Ici, x prend les valeurs $3$, $7$, puis $5$. Voici par exemple une fonction qui renvoie le plus grand élément d'une liste.

def maximum(L):
    m = L[0]
    for x in L:
        if x > m:
            m = x
    return m

Ainsi, maximum([3, 7, 5]) renvoie $7$.

7.4 Comparer un élément au suivant

Les indices deviennent utiles dès qu'on compare un élément au suivant. Reprenons la suite de l'exemple 12.

>>> L = [n**2 - 6 * n + 1 for n in range(7)]
>>> L
[1, -4, -7, -8, -7, -4, 1]
>>> [L[i + 1] - L[i] for i in range(len(L) - 1)]
[-5, -3, -1, 1, 3, 5]

On retrouve les valeurs de $2n - 5$. Le len(L) - 1 vient de ce que le dernier élément n'a pas de suivant.

7.5 Tester si une liste est croissante

def croissante(L):
    for i in range(len(L) - 1):
        if L[i + 1] < L[i]:
            return False
    return True

Dès qu'un élément est suivi d'un plus petit, la fonction renvoie False : un seul contre-exemple suffit. Si la boucle va jusqu'au bout, elle renvoie True. Ainsi, croissante([1, 4, 9, 16]) renvoie True, et croissante([1, -4, -7]) renvoie False.

Attention. Ce test ne porte que sur les termes de la liste. Il ne démontre rien pour la suite entière.

Leçon 8 : Python, suites de Syracuse et de Fibonacci

Voir la vidéo de la leçon 8

8.1 La suite de Syracuse

On choisit un entier $a > 0$, et on pose $u_0 = a$. Pour tout entier naturel $n$ :

• si $u_n$ est pair, $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}$ ;
• si $u_n$ est impair, $u_{n+1} = 3u_n + 1$.

Cette suite est définie par un algorithme, avec un test sur la parité. En partant de $6$, on obtient $6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1$. Arrivée à $1$, la suite tourne en rond : $4, 2, 1, 4, 2, 1\ldots$

En Python, on découpe le travail en deux fonctions : c'est la programmation modulaire. La fonction suivant calcule le terme d'après, et la fonction syracuse construit la liste. Les symboles // donnent le quotient entier.

def suivant(u):
    if u % 2 == 0:
        return u // 2
    return 3 * u + 1

def syracuse(a, n):
    L = [a]
    for k in range(n):
        L.append(suivant(L[k]))
    return L

>>> syracuse(6, 8)
[6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

8.2 Une conjecture ouverte

Pour tous les nombres testés, la suite finit par arriver à $1$. Mais personne n'a su le démontrer : cet énoncé reste une conjecture. Vérifier de très nombreux cas ne fait pas une démonstration.

8.3 La suite de Fibonacci

Elle vient d'un problème de comptage de lapins. Un jeune couple devient adulte en un mois, et chaque mois, tout couple adulte donne naissance à un nouveau couple. On part d'un jeune couple.

Les couples d'un mois sont ceux du mois précédent, plus les nouveau-nés. Il y a autant de nouveau-nés que de couples adultes, c'est-à-dire que de couples présents deux mois plus tôt. Chaque nombre est donc la somme des deux précédents : $F_0 = 1, \quad F_1 = 1 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n.$

Il faut cette fois deux termes pour calculer le suivant, donc deux premiers termes pour démarrer.

def fibonacci(n):
    L = [1, 1]
    for k in range(n - 2):
        L.append(L[k] + L[k + 1])
    return L

>>> fibonacci(10)
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]

Une liste garde tous les termes, ce qui permet de les comparer. On peut ainsi écrire max(syracuse(7, 16)), qui renvoie $52$, et len(fibonacci(10)), qui renvoie $10$.

Leçon 9 : L'idée de limite

Voir la vidéo de la leçon 9

Que deviennent les termes d'une suite quand $n$ devient très grand ? Ici, on observe sur des exemples, sans définition rigoureuse. Cette notion sera précisée en Terminale.

9.1 Une limite finie

Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}$.

Les termes se rapprochent de $2$, autant qu'on veut. On dit que la suite tend vers $2$, et que $2$ est sa limite. C'est une limite finie.

Exemple 17 (l'aquarium). Avec $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 5$, on trouve $u_{10} \approx 39{,}5$, $u_{20} \approx 46{,}4$ et $u_{100} \approx 49{,}999$. Le volume semble tendre vers $50$ litres. C'est logique : $10\,\%$ de $50$ litres, c'est $5$ litres, donc on retire autant qu'on ajoute.

9.2 Une limite infinie

• $v_n = n^2$ finit par dépasser n'importe quel nombre, et reste au-dessus. La suite tend vers $+\infty$.
• $w_n = 5 - 2n$ finit par passer sous n'importe quel nombre, et reste en dessous. La suite tend vers $-\infty$.

9.3 Une suite sans limite

• $t_n = (-1)^n$ vaut $1, -1, 1, -1\ldots$ Elle oscille sans fin entre deux valeurs, sans se rapprocher d'aucun nombre.
• $s_n = n \times (-1)^n$ vaut $0, -1, 2, -3, 4\ldots$ Elle s'éloigne, alternativement des deux côtés. Elle ne tend ni vers $+\infty$, ni vers $-\infty$.

9.4 Deux idées fausses

« Une suite croissante tend vers $+\infty$. » C'est faux : $\dfrac{2n + 1}{n + 1}$ est croissante, et elle tend vers $2$.

« Une suite qui tend vers $+\infty$ est croissante. » C'est faux aussi : $n + 3 \times (-1)^n$ vaut $3, -2, 5, 0, 7\ldots$ Elle monte et descend, tout en finissant par dépasser n'importe quel nombre.

9.5 Conjecturer une limite

Pour conjecturer, on calcule des termes de rang élevé et on regarde le nuage de points. Python est un allié.

>>> [round((2*n + 1) / (n + 1), 4) for n in [10, 100, 1000, 10000]]
[1.9091, 1.9901, 1.999, 1.9999]

Attention. Cela reste une conjecture : une observation n'est pas une démonstration, même sur de très grands rangs. Les outils pour démontrer une limite viendront en Terminale.

9.6 Un peu d'histoire

Bien avant d'être étudiées, les suites ont servi à approcher des nombres. Archimède encadrait $\pi$, et Héron d'Alexandrie calculait des racines carrées. Sa méthode s'écrit aujourd'hui : $u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac12\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right).$ On trouve $2$ ; $1{,}5$ ; environ $1{,}417$ ; environ $1{,}4142$. Les termes semblent tendre vers $\sqrt2 \approx 1{,}4142$.

Leçon 10 : L'algorithme de seuil

Voir la vidéo de la leçon 10

À partir de quel rang une suite franchit-elle une valeur donnée ? Quand on ne sait pas résoudre l'inéquation, un algorithme trouve la réponse.

10.1 Un problème de seuil

On lâche une balle d'une hauteur de $200$ cm. À chaque rebond, elle remonte aux trois quarts de la hauteur précédente. On note $h_n$ la hauteur après $n$ rebonds : $h_0 = 200 \quad \text{et} \quad h_{n+1} = 0{,}75\,h_n.$ On trouve $h_1 = 150$, $h_2 = 112{,}5$ et $h_3 \approx 84{,}4$. Les hauteurs diminuent et semblent tendre vers $0$. On cherche le premier rebond après lequel la balle remonte à moins de $10$ cm, c'est-à-dire le premier rang $n$ tel que $h_n < 10$.

10.2 L'algorithme

n ← 0
h ← 200
Tant que h ⩾ 10
    h ← 0,75 × h
    n ← n + 1
Fin Tant que

Attention à la condition. On veut $h < 10$. La boucle tourne tant que ce n'est pas le cas : la condition de la boucle est le contraire de ce qu'on cherche. À la sortie de la boucle, $n$ est le rang cherché.

10.3 En Python

def seuil(s):
    n = 0
    h = 200
    while h >= s:
        h = 0.75 * h
        n = n + 1
    return n

>>> seuil(10)
11

Vérification. $h_{10} = 200 \times 0{,}75^{10} \approx 11{,}3 \geq 10$ et $h_{11} = 200 \times 0{,}75^{11} \approx 8{,}4 < 10$. C'est donc au onzième rebond que la balle remonte à moins de $10$ cm.

10.4 Une boucle sans fin

Reprenons l'aquarium, dont le volume semble tendre vers $50$ litres. On cherche quand il dépasse $45$ litres.

def seuil_eau(s):
    n = 0
    u = 20
    while u <= s:
        u = 0.9 * u + 5
        n = n + 1
    return n

>>> seuil_eau(45)
18

Il faut $18$ semaines. Mais avec seuil_eau(60), le volume n'atteint jamais $60$ litres : la condition reste toujours vraie, et le programme ne s'arrête pas. Avant de lancer un algorithme de seuil, on vérifie donc que le seuil sera franchi.

10.5 La méthode

1. Traduire : écrire le premier terme et la relation.
2. Observer : le seuil sera-t-il franchi ?
3. Écrire la boucle, avec la condition contraire de ce qu'on cherche.
4. Contrôler le résultat avec les deux termes qui encadrent le rang trouvé.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Suite : à chaque entier naturel $n$, on associe un réel $u_n$, le terme de rang $n$. $u_{n+1}$ est le terme suivant, à ne pas confondre avec $u_n + 1$.
2. Modes de génération : formule explicite $u_n = f(n)$, relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ avec un premier terme, motif, algorithme. On choisit le plus pratique.
3. Modéliser : pour une relation, on écrit ce qui se passe en une étape. Pour une formule, on compte tout d'un coup, en prenant garde aux objets comptés deux fois.
4. Représenter : les points $(n\,;u_n)$, sans les relier. La construction en escalier utilise la courbe de $f$ et la droite $y = x$.
5. Sens de variation : signe de $u_{n+1} - u_n$ ; fonction $f$ si $u_n = f(n)$ ; quotient comparé à $1$ si les termes sont strictement positifs. Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne suffit pas. Une suite peut n'être ni croissante, ni décroissante.
6. Listes en Python : indices à partir de $0$ ; génération en extension, par ajouts avec append, en compréhension avec for et if ; parcours par les indices ou par les éléments.
7. Limite : une suite peut tendre vers un nombre, vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou n'avoir aucune limite. En Première, on conjecture sur des exemples.
8. Seuil : une boucle « Tant que », dont la condition est le contraire de ce qu'on cherche. On vérifie d'abord que le seuil sera franchi.

Rituel d'automatismes

Douze questions à réponses courtes, sans calculatrice, à faire en dix minutes environ : six sur ce chapitre, six sur des automatismes déjà travaillés. C'est le format de la première partie de l'épreuve anticipée. Télécharger le rituel du chapitre 2 (PDF, avec son corrigé).