Somme de termes d'une suite géométrique

6.1 La formule

Propriété. Pour tout réel $q \neq 1$ et tout entier naturel $n$, $1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}.$

Démonstration. Notons $S = 1 + q + q^2 + \ldots + q^n$. En multipliant par $q$, chaque terme devient le suivant : $qS = q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n+1}.$ Soustrayons ces deux égalités. Tous les termes du milieu disparaissent : $S - qS = 1 - q^{\,n+1}, \quad \text{soit} \quad (1 - q)\,S = 1 - q^{\,n+1}.$ Comme $q \neq 1$, on peut diviser par $1 - q$, ce qui donne la formule.

Si $q = 1$, la formule n'a pas de sens, mais le calcul est simple : la somme vaut $n + 1$.

Automatisme. Dans la somme, il y a $n + 1$ termes, de $q^0 = 1$ à $q^n$. C'est ce nombre de termes que l'on retrouve en exposant.

Exemple 19. Avec $q = 3$ et $n = 5$ : $1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^5 = \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = \frac{-728}{-2} = 364.$

Exemple 20. Avec $q = \dfrac12$ et $n = 3$ : $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac{1 - \frac{1}{16}}{1 - \frac12} = \frac{15}{16} \times 2 = \frac{15}{8}.$

6.2 Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Quand la somme ne commence pas à $1$, on met le premier terme en facteur.

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ vaut $\text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\,\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$

Exemple 21 (les ancêtres). Sur dix générations, on compte $2$ parents, $4$ grands-parents, $8$ arrière-grands-parents, et ainsi de suite. Cela fait $A = 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{10} = 2\left(1 + 2 + \ldots + 2^9\right) = 2 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2 \times 1\,023 = 2\,046.$ Cette somme compte $10$ termes.

6.3 Une somme qui se stabilise

Pour tout entier naturel $n$, posons $S_n = 1 + \frac12 + \frac14 + \ldots + \left(\frac12\right)^n.$ La formule donne $S_n = \frac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 2 - \left(\frac12\right)^n.$ Comme $\left(\dfrac12\right)^n$ semble tendre vers $0$, la somme semble tendre vers $2$. On le voit sur un dessin : un carré d'aire $1$, puis, dans un second carré, la moitié, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite. On ne dépasse jamais les deux carrés.

6.4 Un peu d'histoire

Ces calculs sont anciens : au XIVe siècle, Oresme calculait déjà des sommes de termes de suites géométriques.