Suites arithmétiques

1.1 Ajouter toujours le même nombre

Un jeune bambou mesure $40$ cm. Chaque jour, il grandit de $5$ cm. On note $u_n$ sa hauteur, en centimètres, au bout de $n$ jours.

Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours $5$ : pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 5$.

1.2 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + r.$ Le nombre $r$ s'appelle la raison de la suite.

L'ordre des mots compte : c'est le même réel $r$ pour tous les rangs. La raison peut être positive, négative ou nulle. Elle ne suffit pas à définir la suite : il faut aussi connaître un terme, par exemple le premier.

1.3 Reconnaître une suite arithmétique

On calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. Si elle ne dépend pas de $n$, la suite est arithmétique, et cette différence est sa raison.

Exemple 1. Soit $u_n = 3n + 7$. Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = 3(n + 1) + 7 - (3n + 7) = 3n + 3 + 7 - 3n - 7 = 3.$ La suite est arithmétique, de raison $3$ et de premier terme $u_0 = 7$.

Exemple 2. Soit $a_n = \dfrac{5 - 2n}{4}$. Alors $a_{n+1} - a_n = \dfrac{5 - 2(n + 1) - 5 + 2n}{4} = -\dfrac12$. La suite est arithmétique, de raison $-\dfrac12$.

1.4 Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique

Un contre-exemple suffit : il faut trouver deux différences qui ne sont pas égales.

Exemple 3. Soit $v_n = n^2$. On a $v_0 = 0$, $v_1 = 1$ et $v_2 = 4$. Donc $v_1 - v_0 = 1$ et $v_2 - v_1 = 3$. Ces différences ne sont pas égales : la suite n'est pas arithmétique.

Attention. L'inverse est faux : pour prouver qu'une suite est arithmétique, regarder ses premiers termes ne suffit pas. Il faut un calcul valable pour tout entier naturel $n$, comme dans l'exemple 1.

1.5 Avec une relation de récurrence

Si la relation est de la forme $w_{n+1} = w_n + r$, on lit directement la raison.

Exemple 4. Si $w_{n+1} = w_n - 4$, la suite est arithmétique, de raison $-4$.

Si $t_0 = 1$ et $t_{n+1} = 2t_n + 1$, on obtient $t_1 = 3$ et $t_2 = 7$. Les différences valent $2$, puis $4$ : la suite n'est pas arithmétique.

1.6 Évolutions à accroissements constants

Une suite arithmétique décrit une évolution à accroissements constants : la grandeur change de la même quantité à chaque étape.

Exemple 5 (une bougie). Une bougie mesure $18$ cm et perd $1{,}5$ cm par heure. Sa hauteur $h_n$ au bout de $n$ heures est une suite arithmétique de premier terme $h_0 = 18$ et de raison $-1{,}5$. On trouve $h_1 = 16{,}5$, $h_2 = 15$ et $h_3 = 13{,}5$. La raison est négative parce que la grandeur diminue.