Problèmes de configuration dans l'espace

6.1 La méthode

Pour étudier un alignement, un parallélisme ou une coplanarité :

1. Choisir une base formée de trois vecteurs non coplanaires de la figure : $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ dans le cube, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})$ dans un tétraèdre $ABCD$.
2. Exprimer les vecteurs utiles dans cette base, avec la relation de Chasles et les données (milieux, points définis par une égalité vectorielle).
3. Conclure :
   • deux vecteurs colinéaires : alignement de points, ou droites parallèles ;
   • un vecteur combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires : coplanarité, droite parallèle à un plan ;
   • deux vecteurs non colinéaires de la direction d'un autre plan : plans parallèles.

On peut aussi travailler en coordonnées dans le repère associé : c'est la même méthode, écrite avec des nombres.

6.2 Exemple dans un tétraèdre

Exemple 22. $ABCD$ est un tétraèdre. $I$, $J$, $K$, $L$ sont les milieux des arêtes $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$, $[DA]$. Montrer que $I$, $J$, $K$, $L$ sont coplanaires.

$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BJ} = \frac12\overrightarrow{AB} + \frac12\overrightarrow{BC} = \frac12\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\right) = \frac12\overrightarrow{AC}.$ De même, $\overrightarrow{LK} = \overrightarrow{LD} + \overrightarrow{DK} = \frac12\overrightarrow{AD} + \frac12\overrightarrow{DC} = \frac12\overrightarrow{AC}$.

Donc $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{LK}$ : $IJKL$ est un parallélogramme, et ses quatre sommets sont coplanaires. Pourtant, $A$, $B$, $C$, $D$ ne le sont pas !

6.3 Exemple dans un cube

Exemple 23. Dans le cube, le point $K$ est défini par $\overrightarrow{AK} = \frac13\overrightarrow{AG}$. Montrer que $K$ appartient au plan $(BDE)$.

Base $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$. Comme $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ : $\overrightarrow{AK} = \frac13\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AD} + \frac13\overrightarrow{AE}, \qquad \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = -\frac23\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AD} + \frac13\overrightarrow{AE}.$ Vecteurs du plan : $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$, non colinéaires. Alors $\frac13\overrightarrow{BD} + \frac13\overrightarrow{BE} = -\frac23\overrightarrow{AB} + \frac13\overrightarrow{AD} + \frac13\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BK}.$ Conclusion : $\overrightarrow{BK} = \frac13\overrightarrow{BD} + \frac13\overrightarrow{BE}$, donc $K \in (BDE)$. La droite $(AG)$ n'est pas parallèle à ce plan ($A$ n'y est pas et $K$ y est) : elle le coupe exactement en $K$, au tiers de la diagonale $[AG]$.

En coordonnées, dans le repère $(A\,;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$ : $K\left(\frac13\,;\frac13\,;\frac13\right)$, $\overrightarrow{BK}\left(-\frac23\,;\frac13\,;\frac13\right)$, $\overrightarrow{BD}\,(-1\,;1\,;0)$, $\overrightarrow{BE}\,(-1\,;0\,;1)$, et l'on retrouve la même égalité.