Loi des grands nombres

Leçon 1 : L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

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1.1 L'écart type, unité naturelle d'écart

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$, de variance $V(X)$ et d'écart type $\sigma$. L'écart type mesure la dispersion de $X$ autour de $\mu$ : c'est l'unité naturelle pour parler des écarts. Par construction, il est naturel d'observer des écarts de $X$ à $\mu$ de l'ordre de $\sigma$, en deçà ou au-delà.

Exemple 1 (une laverie). Dans une laverie automatique, le nombre $X$ de machines occupées à midi suit la loi suivante.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P(X = x)$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}2$	$0{,}1$

On trouve $\mu = 2 \times 0{,}1 + 3 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}4 + 5 \times 0{,}2 + 6 \times 0{,}1 = 4$, puis $V(X) = 0{,}1 \times 4 + 0{,}2 \times 1 + 0{,}4 \times 0 + 0{,}2 \times 1 + 0{,}1 \times 4 = 1{,}2,$ et $\sigma = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}10$. Un écart de $1$ à l'espérance, de l'ordre de $\sigma$, est tout à fait normal : $P(X = 3 \text{ ou } X = 5) = 0{,}4$.

1.2 L'inégalité

Propriété (inégalité de Bienaymé-Tchebychev). Pour une variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$, et quel que soit le réel strictement positif $\delta$ : $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(X)}{\delta^2}.$

L'événement $\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta$ signifie que $X$ tombe loin de $\mu$ : $X \leqslant \mu - \delta$ ou $X \geqslant \mu + \delta$.

Elle vaut pour toutes les lois, et il suffit de connaître $\mu$ et $V(X)$. On peut donc l'utiliser sans connaître la loi de $X$.

Exemple 2 (vérification). Dans la laverie, prenons $\delta = 2$. L'événement $\lvert X - 4 \rvert \geqslant 2$ est réalisé quand $X = 2$ ou $X = 6$, donc $P\big(\lvert X - 4 \rvert \geqslant 2\big) = 0{,}2$. L'inégalité annonce au plus $\dfrac{1{,}2}{2^2} = 0{,}3$ : c'est bien vrai.

Avec $\delta = 1$, la borne vaut $1{,}2$. Elle dépasse $1$ : l'inégalité est vraie, mais elle ne dit rien.

1.3 Pourquoi elle est vraie

Cette preuve n'est pas exigible. Elle n'est pas dans la liste des démonstrations du programme, mais elle est courte et elle éclaire le résultat.

On note $x_1, \ldots, x_m$ les valeurs de $X$ et $p_1, \ldots, p_m$ leurs probabilités.

• La variance est une somme de termes positifs : $V(X) = \displaystyle\sum_i p_i\,(x_i - \mu)^2$.
• On retire tous les termes où $\lvert x_i - \mu \rvert < \delta$ : la somme diminue.
• Dans les termes qui restent, $(x_i - \mu)^2 \geqslant \delta^2$.

$V(X) \geqslant \sum_{\lvert x_i - \mu \rvert \geqslant \delta} p_i\,(x_i - \mu)^2 \geqslant \sum_{\lvert x_i - \mu \rvert \geqslant \delta} p_i\,\delta^2 = \delta^2\,P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta\big).$

On divise par $\delta^2$, qui est strictement positif.

1.4 Des écarts mesurés en sigma

Prenons $\delta = k\sigma$, avec $k > 0$ (et $\sigma > 0$). La borne devient $\dfrac{\sigma^2}{k^2\sigma^2} = \dfrac{1}{k^2}$ : $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant k\sigma\big) \leqslant \frac{1}{k^2}.$

Pour $k = 1$, la borne ne dit rien : un écart de l'ordre de $\sigma$ n'a rien d'étonnant. En revanche, des écarts de quelques $\sigma$ deviennent improbables.

Exemple 3 (la piscine). Une piscine municipale accueille chaque mercredi un nombre $X$ de nageurs, d'espérance $200$ et d'écart type $15$. On ne connaît pas la loi de $X$. Une journée à $260$ nageurs ou plus est-elle rare ?

On a $V(X) = 225$, et $260 - 200 = 60 = 4\sigma$. Si $X \geqslant 260$, alors $\lvert X - 200 \rvert \geqslant 60$. Donc $P(X \geqslant 260) \leqslant P\big(\lvert X - 200 \rvert \geqslant 60\big) \leqslant \frac{225}{60^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625.$

1.5 Un peu d'histoire

Le mathématicien français Bienaymé (en 1853, publication en 1867) et le mathématicien russe Tchebychev (en 1867) démontrent l'inégalité qui porte leur nom, en parlant de fréquences d'échantillons plutôt que de variables aléatoires.

Leçon 2 : Appliquer l'inégalité, et voir ses limites

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2.1 L'événement contraire

L'événement contraire de $\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta$ est $\lvert X - \mu \rvert < \delta$, c'est-à-dire $\mu - \delta < X < \mu + \delta$. On en déduit : $P\big(\mu - \delta < X < \mu + \delta\big) = P\big(\lvert X - \mu \rvert < \delta\big) \geqslant 1 - \frac{V(X)}{\delta^2}.$

2.2 Avec une loi binomiale

Exemple 4 (le bus). Dans une commune, un habitant sur quatre prend le bus chaque matin. On interroge $400$ habitants au hasard, ce que l'on assimile à un tirage avec remise. Le nombre $X$ de personnes qui prennent le bus suit la loi $\mathcal{B}(400\,;0{,}25)$. D'après le chapitre 15, $\mu = 400 \times 0{,}25 = 100$ et $V(X) = 100 \times 0{,}75 = 75$.

Avec $\delta = 20$ : $P(80 < X < 120) = P\big(\lvert X - 100 \rvert < 20\big) \geqslant 1 - \frac{75}{400} = 0{,}8125.$

2.3 Un intervalle non centré, une seule borne

L'inégalité porte sur un intervalle centré en $\mu$. Sinon, on se ramène à un intervalle centré.

Exemple 5 (intervalle non centré). Toujours avec $\mu = 100$ et $V(X) = 75$, minorons $P(85 < X < 120)$. L'intervalle $]85\,;115[$ est centré en $100$ et contenu dans $]85\,;120[$. Donc $P(85 < X < 120) \geqslant P\big(\lvert X - 100 \rvert < 15\big) \geqslant 1 - \frac{75}{15^2} = \frac23.$

Avec une seule borne. Si $X \geqslant 120$, alors $\lvert X - 100 \rvert \geqslant 20$. Donc $P(X \geqslant 120) \leqslant P\big(\lvert X - 100 \rvert \geqslant 20\big) \leqslant \frac{75}{400} = 0{,}1875.$

2.4 Une inégalité loin d'être optimale

Pour l'exemple 4, le calcul exact avec la loi binomiale donne $P(80 < X < 120) \approx 0{,}976$, alors que l'inégalité garantit $0{,}8125$.

L'écart de $2\sigma$ est encore plus parlant. Pour tout $X$, l'inégalité donne $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant 2\sigma\big) \leqslant \dfrac14$. Or, sur des lois usuelles, la vraie probabilité est bien plus petite :

C'est ce que montraient les simulations de Première : la proportion des cas où l'écart dépasse $2\sigma$ tourne souvent autour de $0{,}05$.

L'inégalité est donc loin d'être optimale. C'est la contrepartie de son caractère universel : elle vaut pour toutes les lois, y compris les plus défavorables (l'exercice 4 en donne une, où elle devient une égalité).

2.5 Pourquoi on la garde

• Elle s'applique sans connaître la loi, avec seulement $\mu$ et $V(X)$.
• Elle donne une garantie : une borne trop large reste une borne. C'est un raisonnement par condition suffisante, qui servira à choisir la taille d'un échantillon.
• Elle permet de démontrer la loi des grands nombres.

Leçon 3 : L'inégalité de concentration

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3.1 Rappels du chapitre 15

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Un échantillon de taille $n$ de sa loi est une liste $(X_1, \ldots, X_n)$ de variables indépendantes, de même loi que $X$. On note $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ et $M_n = \dfrac{S_n}{n}$. Alors : $E(M_n) = \mu, \qquad V(M_n) = \frac{V}{n}, \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$

3.2 L'inégalité de concentration

Propriété (inégalité de concentration). Si $M_n$ est la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $V$, alors pour tout $\delta > 0$ : $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V}{n\,\delta^2}.$

Démonstration. On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$, d'espérance $\mu$ et de variance $\dfrac{V}{n}$ : $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V(M_n)}{\delta^2} = \frac{V/n}{\delta^2} = \frac{V}{n\,\delta^2}.$

Plus l'échantillon est grand, plus il est improbable que la moyenne s'écarte de $\mu$.

Exemple 6 (des clémentines). La masse $X$ d'une clémentine, en grammes, suit la loi suivante.

$x$	$60$	$70$	$80$	$90$
$P(X = x)$	$0{,}2$	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}1$

On trouve $\mu = 73$, $V = 0{,}2 \times 169 + 0{,}4 \times 9 + 0{,}3 \times 49 + 0{,}1 \times 289 = 81$ et $\sigma = 9$.

On pèse $100$ clémentines, qui forment un échantillon de cette loi. Avec $\delta = 3$ : $P\big(\lvert M_{100} - 73 \rvert \geqslant 3\big) \leqslant \frac{81}{100 \times 3^2} = \frac{81}{900} = 0{,}09.$ Pour une seule clémentine ($n = 1$), la borne vaudrait $\dfrac{81}{9} = 9$, et elle ne dirait rien.

3.3 Somme ou moyenne

Comme $S_n = n\,M_n$, les événements $\lvert S_n - n\mu \rvert \geqslant n\delta$ et $\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta$ sont le même événement. Pour une question sur une somme, on se ramène donc à la moyenne.

Exemple 7 (la masse totale). $E(S_{100}) = 7\,300$, et $P\big(\lvert S_{100} - 7\,300 \rvert \geqslant 300\big) = P\big(\lvert M_{100} - 73 \rvert \geqslant 3\big) \leqslant 0{,}09.$

3.4 Le facteur $1/\sqrt{n}$

Prenons $\delta = \dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}$ avec $k > 0$. Alors $\dfrac{V}{n\,\delta^2} = \dfrac{\sigma^2}{n} \times \dfrac{n}{k^2\sigma^2} = \dfrac{1}{k^2}$ : $P\Big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \frac{k\sigma}{\sqrt{n}}\Big) \leqslant \frac{1}{k^2}.$

La borne ne dépend plus de $n$. Pour un même risque, la largeur de l'intervalle autour de $\mu$ est proportionnelle à $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : quand $n$ est multiplié par $4$, la largeur est divisée par $2$. C'est le facteur $1/\sqrt{n}$ de la théorie de l'estimation, aperçu expérimentalement en classe de Seconde.

Pour les clémentines, avec $k = 2$, la demi-largeur vaut $\dfrac{18}{\sqrt{n}}$ grammes :

Leçon 4 : Choisir la taille d'un échantillon

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4.1 La méthode

On fixe deux nombres : la précision $\delta$, l'écart à $\mu$ que l'on accepte, et le risque $\alpha$, la probabilité que l'on accepte de dépasser cet écart. On cherche $n$ tel que $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \alpha$.

D'après l'inégalité de concentration, il suffit que $\dfrac{V}{n\,\delta^2} \leqslant \alpha$, c'est-à-dire $n \geqslant \frac{V}{\alpha\,\delta^2}.$

Comme $n$ est un entier, on arrondit à l'entier supérieur.

Exemple 8 (retour aux clémentines). On veut la masse moyenne à $2$ grammes près, avec un risque d'au plus $5\,\%$. Avec $V = 81$, $\delta = 2$, $\alpha = 0{,}05$ : $n \geqslant \frac{81}{0{,}05 \times 2^2} = \frac{81}{0{,}2} = 405.$ Il suffit de peser $405$ clémentines.

4.2 Un sondage

On veut estimer une proportion $p$ inconnue. La personne numéro $i$ donne une variable $X_i$ de Bernoulli de paramètre $p$, qui vaut $1$ si elle répond oui et $0$ sinon. On assimile le choix des personnes à un tirage avec remise. Alors $M_n$ est la fréquence $F_n$ des réponses oui, avec $E(X_i) = p$ et $V = p(1 - p)$.

La variance dépend de $p$, justement inconnu. Mais pour tout $p$ de $[0\,;1]$, on a $p(1 - p) \leqslant \dfrac14$ (maximum atteint pour $p = \dfrac12$, chapitre 15). Donc $P\big(\lvert F_n - p \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{p(1 - p)}{n\,\delta^2} \leqslant \frac{1}{4n\,\delta^2}.$

Il suffit alors que $n \geqslant \dfrac{1}{4\alpha\,\delta^2}$.

Exemple 9 (une piste cyclable). Une mairie veut connaître la part $p$ d'habitants favorables à une nouvelle piste cyclable, avec une précision de $0{,}03$ (trois points) et un risque d'au plus $5\,\%$ : $n \geqslant \frac{1}{4 \times 0{,}05 \times 0{,}03^2} \approx 5\,555{,}6.$ Il suffit d'interroger $5\,556$ personnes.

4.3 Une condition suffisante, pas nécessaire

Ce nombre suffit, mais il n'est pas nécessaire. Si $p = 0{,}5$, le calcul exact avec la loi binomiale donne $P\big(\lvert F_{1\,068} - 0{,}5 \rvert \geqslant 0{,}03\big) \approx 0{,}047$ : $1\,068$ personnes suffisent déjà. L'inégalité n'est pas optimale.

C'est un raisonnement par condition suffisante : on ne cherche pas la plus petite taille, on cherche une taille qui convient à coup sûr, quel que soit $p$.

4.4 Précision, risque et taille

Comme $n$ est proportionnel à $\dfrac{1}{\alpha\,\delta^2}$ :

• si on divise la précision $\delta$ par $2$, la taille est multipliée par $4$ ;
• si on divise le risque $\alpha$ par $2$, la taille est multipliée par $2$.

Si la taille est imposée, on inverse le calcul. Pour $n = 1\,000$ et $\delta = 0{,}05$, la borne vaut $\dfrac{1}{4 \times 1\,000 \times 0{,}05^2} = 0{,}1$. Pour $n = 1\,000$ et $\alpha = 0{,}05$, il faut $\delta \geqslant \sqrt{\dfrac{1}{4n\alpha}} = \sqrt{0{,}005} \approx 0{,}071$.

Leçon 5 : La loi des grands nombres

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5.1 L'énoncé

Théorème (loi des grands nombres). Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable aléatoire d'espérance $\mu$. Pour tout réel $\delta > 0$ : $\lim_{n \to +\infty} P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) = 0.$

L'écart entre la moyenne de l'échantillon et l'espérance ne dépasse une valeur donnée à l'avance qu'avec une probabilité qui tend vers zéro quand la taille de l'échantillon tend vers l'infini.

5.2 La démonstration

Soit $\delta > 0$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, une probabilité étant positive, l'inégalité de concentration donne $0 \leqslant P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \frac{V}{n\,\delta^2}.$ Le nombre $\dfrac{V}{\delta^2}$ est une constante et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac1n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{V}{n\,\delta^2} = 0$. D'après le théorème des gendarmes (chapitre 2), $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) = 0$.

5.3 Fréquence et probabilité

Pour une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, $M_n$ est la fréquence $F_n$ du succès en $n$ épreuves, et $\mu = p$. La loi des grands nombres dit que, pour tout $\delta > 0$, $P\big(\lvert F_n - p \rvert \geqslant \delta\big)$ tend vers $0$. Elle relie la fréquence et la probabilité.

Exemple 10 (un dé). On lance un dé équilibré, et $X$ vaut $1$ si on obtient six, $0$ sinon : $\mu = \dfrac16$ et $V = \dfrac16 \times \dfrac56 = \dfrac{5}{36}$. Avec $\delta = 0{,}05$, la borne vaut $\dfrac{5/36}{n \times 0{,}05^2}$ :

$n$	$100$	$1\,000$	$10\,000$
Borne	$\approx 0{,}556$	$\approx 0{,}056$	$\approx 0{,}0056$

5.4 Ce qu'elle ne dit pas

• Le hasard ne compense pas. Après cinq lancers sans six, la probabilité d'obtenir six au lancer suivant vaut toujours $\dfrac16$, car les lancers sont indépendants. La moyenne se rapproche de $\mu$ parce que les anciens résultats pèsent de moins en moins, pas parce qu'ils sont corrigés.
• La somme ne se concentre pas. C'est $M_n$ qui se rapproche de $\mu$. L'écart $\lvert S_n - n\mu \rvert$, lui, peut grandir : $\sigma(S_n) = \sqrt{n}\,\sigma$ (voir la marche aléatoire, leçon 7).
• Elle ne dit pas que $M_n = \mu$ pour $n$ grand : elle parle d'une probabilité d'écart, qui tend vers $0$.

5.5 Un peu d'histoire

La parution de l'Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (1713) marque une rupture dans l'histoire des probabilités. Un résultat majeur de cet ouvrage est son « théorème d'or », la loi des grands nombres, qui relie fréquences et probabilité, valide le principe de l'échantillonnage et est le premier exemple de « théorème limite » en théorie des probabilités. En démontrant leur inégalité, Bienaymé et Tchebychev fournissent la possibilité d'une démonstration plus simple : c'est celle de cette leçon.

L'introduction de méthodes statistiques en sociologie est l'œuvre du mathématicien et astronome belge Quételet, dans les années 1830.

5.6 Pour aller plus loin : des ordres de grandeur

Approfondissement possible du programme, non exigible. La borne $\dfrac{1}{4n\,\delta^2}$ vaut pour toute fréquence.

À l'échelle de $10^{23}$ atomes, le hasard est invisible.

Leçon 6 : Simuler des échantillons avec Python

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6.1 Simuler un échantillon

Ce programme reprend les listes vues en Première, sans notion nouvelle. En langage naturel, on écrirait « ← » pour l'affectation.

On reprend la loi des clémentines. Dans une liste de dix valeurs, chaque masse apparaît autant de fois que le demande sa probabilité. Tirer un indice au hasard entre $0$ et $9$ donne donc chaque masse avec la bonne probabilité.

from random import randint
from math import sqrt

urne = [60, 60, 70, 70, 70, 70, 80, 80, 80, 90]

def moyenne(n):
    ech = [urne[randint(0, 9)] for i in range(n)]
    return sum(ech) / n

def moyennes(N, n):
    return [moyenne(n) for i in range(N)]

6.2 L'écart type des moyennes

def ecart_type(L):
    m = sum(L) / len(L)
    return sqrt(sum([(x - m)**2 for x in L]) / len(L))

Une exécution avec $N = 1\,000$ et $n = 100$ a donné $s \approx 0{,}89$. La théorie annonce $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{9}{10} = 0{,}9$. L'accord est excellent.

6.3 La proportion des moyennes proches de $\mu$

def proportion(L, mu, e):
    proches = [m for m in L if abs(m - mu) <= e]
    return len(proches) / len(L)

La même exécution a donné :

La garantie vient de la leçon 3 : $P\Big(\lvert M_n - \mu \rvert < \dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}\Big) \geqslant 1 - \dfrac{1}{k^2}$. Elle est respectée, et loin d'être optimale. On retrouve le constat de Première : environ $95\,\%$ des moyennes sont à moins de $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de $\mu$.

Chaque exécution donne d'autres valeurs : ces résultats ne sont pas exacts, seule leur allure compte.

Leçon 7 : Loi binomiale et marche aléatoire en Python

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7.1 Calculer la vraie probabilité

Soit $S_n$ une variable de loi $\mathcal{B}(n, p)$ : $E(S_n) = pn$ et $V(S_n) = np(1 - p)$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec $\delta = \sqrt{n}$, donne $P\big(\lvert S_n - pn \rvert \geqslant \sqrt{n}\big) \leqslant \frac{np(1 - p)}{n} = p(1 - p).$ Un écart strictement supérieur à $\sqrt{n}$ est aussi un écart supérieur ou égal, donc $P\big(\lvert S_n - pn \rvert > \sqrt{n}\big) \leqslant p(1 - p)$. La borne ne dépend pas de $n$.

La fonction suivante calcule la vraie probabilité, en additionnant les $P(S_n = k)$ pour les $k$ concernés.

from math import comb, sqrt

def proba_ecart(n, p):
    total = 0
    for k in range(n + 1):
        if abs(k - p * n) > sqrt(n):
            total = total + comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
    return total

7.2 Une marche aléatoire

Un pion part de $0$ sur une droite graduée. À chaque étape, il avance ou recule d'une case, avec la probabilité $\dfrac12$. On note $X_i$ son déplacement à l'étape $i$ : $X_i = 1$ ou $X_i = -1$. Alors $E(X_i) = 0$ et $V(X_i) = 1$.

La position après $n$ étapes est $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Les étapes étant indépendantes : $E(S_n) = 0, \qquad V(S_n) = n, \qquad \sigma(S_n) = \sqrt{n}.$

from random import random

def marche(n):
    x = 0
    positions = [0]
    for i in range(n):
        if random() < 0.5:
            x = x + 1
        else:
            x = x - 1
        positions.append(x)
    return positions

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour chaque $n$ : $P\big(\lvert S_n \rvert \geqslant 2\sqrt{n}\big) \leqslant \dfrac14$.

7.3 La somme et la moyenne

La loi des grands nombres dit que $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ se rapproche de $0$ : le déplacement moyen par étape devient négligeable. Pourtant, la position $S_n$ ne reste pas proche de $0$ : son écart type $\sqrt{n}$ grandit. La moyenne se concentre, la somme s'étale.

Pour $n = 400$ : $P\big(\lvert S_{400} \rvert \geqslant 40\big) \approx 0{,}051$. Sur une simulation de $1\,000$ marches, on a observé une proportion de $0{,}059$. La borne vaut $0{,}25$.

Ce qu'il faut retenir du chapitre

1. Bienaymé-Tchebychev : pour tout $\delta > 0$, $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Elle vaut pour toutes les lois. L'écart type est l'unité naturelle : $P\big(\lvert X - \mu \rvert \geqslant k\sigma\big) \leqslant \dfrac{1}{k^2}$.
2. Événement contraire : $P\big(\mu - \delta < X < \mu + \delta\big) \geqslant 1 - \dfrac{V(X)}{\delta^2}$. Pour un intervalle non centré, on se ramène à un intervalle centré en $\mu$, contenu dans le premier.
3. Pas optimale : un écart d'au moins $2\sigma$ a une probabilité d'au plus $\dfrac14$, et souvent proche de $0{,}05$ en réalité. Une borne qui dépasse $1$ ne dit rien.
4. Concentration : $P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V}{n\,\delta^2}$. C'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$.
5. Taille d'échantillon : il suffit que $n \geqslant \dfrac{V}{\alpha\,\delta^2}$. Pour une fréquence, $p(1 - p) \leqslant \dfrac14$ donne $n \geqslant \dfrac{1}{4\alpha\,\delta^2}$. C'est une condition suffisante, pas nécessaire.
6. Loi des grands nombres : pour tout $\delta > 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P\big(\lvert M_n - \mu \rvert \geqslant \delta\big) = 0$. Elle se démontre avec l'inégalité de concentration et le théorème des gendarmes.
7. Attention : le hasard ne compense rien, et c'est la moyenne qui se concentre, pas la somme.